Il est formellement interdit de quitter la salle avant la fin de l'épreuve .

Aucun document n'est autorisé, la calculatrice n'est pas autorisée.

Sur l'ordinateur mis à service, seul le logiciel " maple " est utilisable : internet et intranet sont mis hors service, les moyens de communication sont coupés (mail, telnet, ...), la sauvegarde ainsi que l'accès aux documents personnel sont également exclus.

Le téléphone portable est évidemment interdit aussi.

Le compte-rendu est à rendre uniquement sur copie et manuscrit : pas de sortie imprimante.

Exercice 1 (trois points)

Soit le polynôme p  donné par

                                                            p(x)= .

Donner une forme entièrement factorisée de ce polynôme sur R .

>

restart:

>	p:=x->x^7-x^6*ln(2)+4*x^5-4*x^4*ln(2)-3*x^3+3*x^2*ln(2)-18*x+18*ln(2);

>	factor(p(x));

 est la forme décomposée en produit de facteurs premiers sur R [x] (en effet,  n'admet pas de racine dans R ).

Exercice 2 (cinq points)  

(a) Représenter graphiquement (graphiques à (re)produire sur la copie) les fonctions f  qui à x  de R  associe f(x) = , et g  qui à x  de R  associe g(x) = ,  (sur l'intervalle ]-2,2[, par exemple, et surtout sur un même graphique).

(b) Emettre une conjecture sur le nombre de solutions réelles de l'équation (E) : f(x)=g(x) .  Donner l'une de ces solutions réelles (il n'est pas demandé de donner explicitement toutes les solutions réelles).

>

restart:

>	f:=x->x^2+4*x+4:g:=x->x^7+4:plot({f(x),g(x)},x=-2..2);

Il semble donc qu'il y ait exactement trois racines réelles pour l'équation (E) on peut même les approcher par :

>	fsolve(f(x)=g(x),x);

Effectivement, 0 est solution.

Exercice 3 (cinq points)  

Soit E  l’ensemble des nombres entiers naturels n  qui vérifient les trois conditions suivantes :

    (i) le reste dans la division euclidienne de n  par 17  est 11 ,
    (ii)  le reste dans la division euclidienne de n  par 19  est 7 ,

    (iii) le reste dans la division euclidienne de n  par 23  est 17 .

(a) Donner une procédure "maple"  permettant d'obtenir le plus petit élément de E . Quel est cet élement ?

(b) Donner une procédure "maple"  permettant d’obtenir tous les éléments de E  qui soient plus petits que 40 000 . Quels sont ces élements ?

>

restart:

>	k:=1: while irem(k,17)<>11 or irem(k,19)<>7 or irem(k,23)<>17 do k:=k+1 od: print(k);

Le plus petit est 5859.

>	for k from 1 to 40000 do if irem(k,17)=11 and irem(k,19)=7 and irem(k,23)=17 then print(k) fi: od:

Les 5 nombres sont 5859, 13288, 20717,28146,35575.

Exercice 4 (sept points)

On sait démontrer en arithmétique, mais ce ne sont nullement des résultats faciles, que tout nombre entier naturel est une somme de ...
- 3 nombres triangulaires (i.e. de la forme  avec n  dans N )

- ou de 4 nombres carrés (i.e. de la forme  avec n  dans N )

- ou de 5 nombres pentagonaux (i.e. de la forme  avec n  dans N )

Le premier résultat est le théorème de Gauss, le deuxième est dû à Lagrange et le troisième est une variante due aussi à Gauss mais attribuée à Liouville (qui a donné avec Cauchy toute la lumière sur cela).

(a)  Ecrire 2007  comme somme de trois nombres triangulaires.

(b) Ecrire 2007  comme somme de quatre nombres carrés.

(c) Ecrire 2007  comme somme de cinq nombres pentagonaux.

(d) Donner une procédure "maple"  permettant d'obtenir les nombres de 1  à 2007  qui ne peuvent pas s'écrire comme somme de deux nombres triangulaires.

>	restart:t:=n->(n^2+n)/2:c:=n->n^2:p:=n->(3*n^2-n)/2:

>	fsolve(t(n)=2007,n);

ceci donne 62 comme valeur maximale pour les trois nombres triangulaires à sommer ...

>	for i from 0 to 62 do for j from i to 62 do for k from j to 62 do if t(i)+t(j)+t(k)=2007 then print(i,j,k) fi:od:od:od:

>	fsolve(c(n)=2007,n);

ceci donne 44 comme valeur maximale pour les quatre nombres carrés à sommer ...

>	for i from 0 to 44 do for j from i to 44 do for k from j to 44 do for l from k to 44 do if c(i)+c(j)+c(k)+c(l)=2007 then print(i,j,k,l) fi:od:od:od:od:

>	fsolve(p(n)=2007,n);

ceci donne 37 comme valeur maximale pour les cinq nombres pentagonaux à sommer ...

>	for i from 0 to 37 do for j from i to 37 do for k from j to 37 do for l from k to 37 do for m from l to 37 do if p(i)+p(j)+p(k)+p(l)+p(m)=2007 then print(i,j,k,l,m) fi:od:od:od:od:od:

>	fsolve(t(n)=2007,n);

ceci donne 62 comme valeur maximale pour les trois nombres triangulaires à sommer ... Il s'agit cette fois d'une majoration à la louche !!

>	L:=NULL:#liste pour stocker les nombres qui de 0 à 2007 ne sont pas somme de deux nombres triangulaires for i from 0 to 2007 do propriete:=false: for m from 0 to 62 do for n from m to 62 do if t(m)+t(n)=i then propriete:=true fi: od: od: if propriete=false then L:=L,i fi: od:L;

>

>	Fin (Philippe RYCKELYNCK & Denis VEKEMANS);

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