EXERCICE 1
> | restart: |
En considérant la fonction f ,
> | f:=x->(-3+3^(1/2))/(3*3^(1/2)*x-2*3^(1/2)-3*x); |
on a
> | u[n+1]=f(u[n]); |
On nous demande de vérifier que la suite est géométrique ...
A l'aide de la fonction g,
> | g:=x->(-1+sqrt(3)*x)/(x-1); |
on a
> | v[n+1]=g(u[n+1]);v[n]=g(u[n]); |
On manipule alors l'équation qui équivaut successivement à puis à où h est la fonction réciproque de fonction g, si celle-ci existe ... pour obtenir en fonction .
On recherche la fonction réciproque de la fonction g :
> | solve(g(x)=y,x); |
et donc
> | h:=y->(-1+y)/(-3^(1/2)+y); |
puis il ne reste plus qu'à simplifier l'expression pour obtenir ...
> | simplify(g(f(h(v[n])))); |
> | evalf(-1/3*v[n]*(-3+3^(1/2))/(-1+3^(1/2))); |
Ainsi, et la suite est arithmétique de raison . Remarque : est une autre expression de cette raison. On obtient ainsi
> | v[n]:=(-1/3*(-3+3^(1/2))/(-1+3^(1/2)))^n*v[0]; |
puis
> | u[n]:=simplify(h(v[n])); |
Conclusion : la suite est convergente (sa limite est nulle) et la suite est convergente (sa limite est ).
Remarque : vous aurez reconnu l'exercice 6 de la séance 1.
EXERCICE 2
> | restart: |
Warning, the protected name order has been redefined and unprotected
Il s'agit ici de chercher dans l'ensemble {100, 101, 102, ..., 999} ceux qui sont abondants (on les dénombre avec le compteur a ) et ceux qui sont déficients (on les dénombre avec le compteur d ). Remarque : les nombres qui ne sont ni abondants, ni déficients sont parfaits.
> | f := x->-exp(-x)+2*exp(x); solve(f(x)=y,x); |
La bijection réciproque est donc , car la quantité étant toujours négative, son logarithme népérien n'est pas réel.
> | g:=y->-ln(-y/2+sqrt(y^2+8)/2); plot({f(x),g(x),x},x=-1..1); |
Ainsi, le nombre de nombres abondants entre 100 et 999 est 224 et le nombre de nombres déficients entre 100 et 999 est 675. Remarque : il n'existe pas de nombre parfait de trois chiffres.
EXERCICE 3
> | restart:with(numtheory): |
Warning, the protected name order has been redefined and unprotected
Il s'agit ici de chercher dans l'ensemble {100, 101, 102, ..., 999} le plus grand nombre à trois chiffres dont la somme des diviseurs soit un nombre premier. On peut créer la liste L des nombres de l'ensemble {100, 101, 102, ..., 999} dont la somme des diviseurs est un nombre premier :
> | L:=NULL: for i from 100 to 999 do if isprime(sigma(i)) then L:=L,i fi; od; L; |
Ainsi, le plus grand nombre à trois chiffres dont la somme des diviseurs est un nombre premier est 729.
EXERCICE 4
> | restart: |
> | x:=t->2*t+1/t;y:=t->t+1+1/(t+1); |
x est définie pour t distinct de 0 et y est définie pour t distinct de 1. Il suffit donc de faire des juxtapositions de tracés ne comportant pas les points t=0 et t=-1.
> | plot({[x(t),y(t),t=-5..-1.1],[x(t),y(t),t=-0.9..-0.1],[x(t),y(t),t=0.1..5]}); |
Recherche des tangentes verticales d'abord puis horizontales après ...
> | solve(diff(x(t),t)=0,t); solve(diff(y(t),t)=0,t); |
Points où la tangente est verticale ...
> | simplify([x(1/2*2^(1/2)),y(1/2*2^(1/2))]);simplify([x(-1/2*2^(1/2)),y(-1/2*2^(1/2))]); |
Point où la tangente est horizontale ...
> | [x(-2),y(-2)]; |
Que se passe-t-il en t=0 ?
> | limit(x(t),t=0,left);limit(x(t),t=0,right);limit(y(t),t=0); |
La droite d'équation y=2 est donc asymptote à la courbe.
Que se passe-t-il en t=-1 ?
> | limit(x(t),t=-1);limit(y(t),t=-1,left);limit(y(t),t=-1,right); |
La droite d'équation x=-3 est donc asymptote à la courbe.
Que se passe-t-il en ?
> | limit(x(t),t=infinity);limit(y(t),t=infinity); |
Branche infinie, on recherche à préciser le comportement ...
> | limit(y(t)/x(t),t=infinity);limit(y(t)-x(t)/2,t=infinity); |
La droite d'équation y=x/2+1 est donc asymptote à la courbe.
Que se passe-t-il en ?
> | limit(x(t),t=-infinity);limit(y(t),t=-infinity); |
Branche infinie, on recherche à préciser le comportement ...
> | limit(y(t)/x(t),t=-infinity);limit(y(t)-x(t)/2,t=-infinity); |
La droite d'équation y=x/2+1 est donc asymptote à la courbe.
Un nouveau tracé avec les asymptotes ...
> | plot({[x(t),y(t),t=-5..-1.1],[x(t),y(t),t=-0.9..-0.1],[x(t),y(t),t=0.1..5],[-3,t,t=-10..10],[t,2,t=-10..10],[t,t/2+1,t=-10..10]}); |
> | Fin (Philippe RYCKELYNCK & Denis VEKEMANS) |
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