Solution [Créteil, Paris, Versailles, 2004]

    1. Quelle est la nature du triangle ACO ?
    Dans le cercle de centre O, les 12 triangles AOB, BOC, COD, DOE, EOF, FOG, GOH, HOI, IOJ, JOK, KOL et LOA sont isocèles, superposables (les 3 côtés sont respectivement de même longueur), les angles , , , , , , , , , , et mesurent donc 360°/12 = 30°.
    Dans le triangle ACO, isocèle en O, l'angle mesure donc 2 x 30° = 60°. Le triangle ACO est donc isocèle avec un angle au sommet de 60°, il est donc équilatéral et la longueur de chaque côté est égal au rayon R du cercle.
    2. Quelle est la nature du polygone ACEGIK ?
    ABCDEFGHIJK est un dodécagone régulier : les triangles AOC, COE, EOG, GOI, IOK et KOA, sont équilatéraux (la longueur du côté est R - voir question 1.-). Ainsi, AC = CE = EG = GI = IK = KA = R et ACEGIK est un hexagone (convexe) inscrit dans un cercle et dont les côtés sont de même longueur : il est donc régulier.
    3. La droite (AC) coupe la droite (BO) en M. Que représente la droite (AM) pour le triangle ABO ? Exprimer AM en fonction du rayon R du cercle circonscrit au dodécagone.
    O est équidistant de A et de C ; de même, B est équidistant de A et de C, donc la droite (OB) est la médiatrice du segment [AC], puis la droite (AM) est perpendiculaire à la droite (OB). La droite (AM) représente donc la hauteur issue de A du triangle AOB.
    M est le milieu de [AC] (car M appartient à la médiatrice du segment [AC]), donc AM = AC/2 = R/2.
    4. Exprimer l'aire du triangle ABO en fonction du rayon R du cercle. En déduire que l'aire d'un dodécagone régulier est donnée par la formule : Aire = 3 x R2 où R représente le rayon du cercle circonscrit au dodécagone.
    L'aire du dodécagone est donc égale à 12 fois l'aire du triangle AOB. L'aire du triangle AOB est (AM x OB)/2 = (R/2 x R)/2 = R2/4. L'aire du dodécagone est donc 12 x (R2/4) = 3 x R2.
    5. Quelle est l'aire d'un dodécagone régulier inscrit dans un cercle de diamètre 18 cm ?
    Lorsque je prends R = 9 cm, j'obtiens une aire de 3 x 92 cm2 = 3 x 81 cm2 = 243 cm2 pour le dodécagone régulier.
    6. Tracer un dodécagone régulier ABCDEFGHIJKL inscrit dans un cercle de centre O et rayon 6 cm. On utilisera la règle graduée et le compas et on laissera les traits de construction apparents.