Solution : carré

    J'ai envie de montrer que ABCD est un carré.
    M est milieu du segment [BC], car centre du cercle de diamètre [BC].
    De même, N est milieu du segment [CD].
    Le triangle BCD est rectangle en B, donc le centre O du cercle circonscrit au triangle BCD est le milieu de l'hypoténuse [BD].
    Je peux maintenant tracer la figure en codant un minimum.


    Tout d'abord, ABCD est un parallélogramme car ses diagonales se coupent en leur milieu : OC = OA (car A est sur le cercle Γ) et C, O et A sont alignés (car A est sur la droite (CO)), donc O est milieu du segment [AC] (puisque A est distinct de C) ; O est milieu du segment [BD].
    Le parallélogramme ABCD est en fait un losange car il possède deux côtés consécutifs égaux : BC = CD car le triangle BCD est isocèle en C.
    Le losange ABCD est en fait un carré car ses diagonales sont de même longueur : [AC] et [BD] sont des diamètres d'un même cercle Γ ([AC] est un diamètre car c'est une corde de Γ qui contient le centre O de Γ) et sont par conséquent de même longueur.
    Je vais montrer que BMND est un trapèze isocèle.
    Je commence par montrer que les droites (BD) et (MN) sont parallèles.
    BCD un triangle isocèle rectangle en C, et donc l'angle mesure ((180-90)/2)° = 45° car la somme des mesures des angles d'un triangle est de 180° et car les angles à la base dans un triangle isocèle sont égaux.
    Immédiatement, j'obtiens que le triangle MCN est rectangle en C, et CM = 1/2 x CB = 1/2 x CD = CN (car M est milieu du segment [BC] ; car CB = CD vu que le triangle BCD est isocèle en C ; car N est milieu du segment [CD]), ce qui implique que le triangle est isocèle rectangle en C. Je déduis alors que l'angle mesure 45°.
    Les angles et sont correspondants et égaux, donc les droites (BD) et (MN) sont parallèles.
    Note : par le théorème des milieux (que je n'ai pas encore vu), c'était immédiat.
    Puisque les droites (BD) et (MN) sont parallèles, le quadrilatère BMND est un trapèze. Et, comme le triangle BCD est isocèle en C, il est alors immédiat que le trapèze BMND est un trapèze isocèle.
    Je vais montrer que BMNO est un parallélogramme.
    Je viens de voir que les droites (BO) et (MN) étaient parallèles.
    Je sais également que le triangle COD est isocèle en O (car C et D sont sur le cercle Γ) et donc, le milieu N du segment [CD] est également le pied de la hauteur issue de O (car dans un triangle isocèle, la médiane est également hauteur). Par suite, la droite (NO) est perpendiculaire à la droite (CD) (par définition d'une hauteur). Mais la droite (BC) est également perpendiculaire à la droite (CD) (car le triangle BCD est rectangle en C), et donc les droites (NO) et (MB) sont parallèles (car deux perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles).
    Note : par le théorème des milieux (que je n'ai pas encore vu), c'était immédiat.
    En résumé, les droites (BO) et (MN) sont parallèles et les droites (NO) et (MB) aussi, donc le quadrilatère BMNO est un parallélogramme.