Solution [Montpellier, 1998]

    Je commence par le tracé ...
    Algorithme de construction.
    Je trace une droite passant par O (O étant le centre du cercle tracé). Cette droite coupe le cercle en A et B.
    Je trace la perpendiculaire à la droite (AB) passant par O (voir cours pour le tracé d'une perpendiculaire à une droite passant par un point donné).
    Je nomme C et D les points de concours de la droite (MN) et du cercle de diamètre [AB].


    Quant à la nature du triangle ABC ...
    La droite (CD) est perpendiculaire à la droite (AB) et passe par le milieu du segment [AB] (i.e. O). La droite (CD) est donc médiatrice du segment [AB]. Par suite, le triangle ABC est isocèle (puisqu'il admet un axe de symétrie orthogonale). Enfin, le point C est sur le cercle de diamètre [AB] et le triangle ABC est rectangle en C. En résumé, le triangle ABC est isocèle rectangle en C.


    Je calcule l'aire de la lunule ...
    Soit E1 l'ensemble des points du disque de centre O, de rayon OA, diminué de ceux du disque de centre C et de rayon CA.
    Soit E2 l'ensemble des points du demi-disque de centre O, de rayon OA, délimité par le diamètre [AB] et contenant le point D.
    Soit E3 l'ensemble des points du quart de disque de centre C, de rayon CA, délimité par les rayons [CA] et CB (c'est bien un quart de cercle car le triangle ABC est isocèle rectangle en C).
    Soit E4 l'ensemble des points situés à l'intérieur du triangle ABC.
    Soit E5 l'ensemble des points de E3 diminué de ceux de E4.
    L'ensemble E3 est réunion des deux ensembles disjoints E4 et E5. Ainsi, Aire(E3) = Aire(E4) + Aire(E5).
    L'ensemble E2 est réunion des deux ensembles disjoints E1 et E5. Ainsi, Aire(E2) = Aire(E1) + Aire(E5).
    Puis, Aire(E3) - Aire(E4) = Aire(E2) - Aire(E1) ou encore Aire(E1) = Aire(E2) - Aire(E3) + Aire(E4).
    Or, si OA = R, AC = R x √ 2 (calcul de l'aire du triangle ABC de deux manières différentes).
    Aire(E2) = π x R2/2.
    Aire(E3) = π x (R x √ 2)2/4 = π x R2/2.
    Aire(E4) = R2.
    L'aire de la lunule est alors donnée par : Aire(E1) = Aire(E2) - Aire(E3) + Aire(E4) = π x R2/2 - π x R2/2 + R2 = R2.