Sujet de Grenoble, Lyon, 2000.
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    1) Décrivez cinq procédures exactes de résolution de ce problème, dont trois au moins (que vous préciserez) peuvent apparaître chez des élèves de CM2. Vous distinguerez ces procédures par les connaissances mathématiques qui permettent de les justifier.
    Il s'agit d'un problème relevant d'une situation de proportionnalité (chaque carré de chocolat est supposé peser le même poids).
    Il est probablement pertinent de prétendre que les élèves vont synthétiser la situation en utilisant un tableau dit de proportionnalité (cette démarche est parfois même automatique chez l'élève). Ce tableau devrait probablement faire intervenir
    - soit le nombre de carrés de chocolat,
    - soit le nombre de colonnes de chocolat,
    - soit le nombre de rangée de chocolat.
Poids en grammes Nombre de carrés
200 40
80 ?
ou
Poids en grammes Nombre de colonnes
200 10
80 ?
ou
Poids en grammes Nombre de rangées
200 5
80 ?
    La tâche de l'élève se résumerait donc à remplir un tableau de proportionnalité à une indéterminée.
      I. Dans un premier temps, nous supposerons que l'élève utilise le nombre de carrés de chocolat (et non le nombre de colonnes ou le nombre de rangées).
    I.i. Procédure utilisant le coefficient de proportionnalité (hors des programmes de 2002). Dans cette situation, le poids est proportionnel au nombre de carrés de chocolat. Le poids en grammes divisé par 5 (5 est obtenu en posant l'opération à trou 200 : ? = 40 et peut être résolue par tâtonnement, ou en calculant 200 : 40 = 20 : 4 = 5 ou encore par la division euclidienne DE(200,40) qui est une division exacte dans ce cas) donne le nombre de carrés de chocolat. Ainsi, le nombre de carrés de chocolat pesant 80 g est donné par 80 : 5 = 16 (le résultat de 80 : 5 peut être trouvé par tâtonnement, ou en résolvant l'opération à trou 5 x ? = 80 par tâtonnement, ou par 80 : 5 = (80 : 10) x 2 = 8 x 2 = 16 ou encore par la division euclidienne DE(80,5) qui est une division exacte dans ce cas).
    I.ii. Procédure utilisant le passage à l'unité (au programme de 2002). Dans cette situation, le poids est proportionnel au nombre de carrés de chocolat. Si 40 carrés pèsent 200 g, alors 1 carré pèse 200 : 40 = 5 g (le résultat de 200 : 40 peut être trouvé par tâtonnement, ou en résolvant l'opération à trou 40 x ? = 200 par tâtonnement, ou par 200 : 40 = 20 : 4 = 5 ou encore par la division euclidienne DE(200,40) qui est une division exacte dans ce cas). Et si 1 carré pèse 5 g, on obtient 80 g avec 80 : 5 = 16 carrés de chocolat (le résultat de 80 : 5 peut être trouvé par tâtonnement, ou en résolvant l'opération à trou 5 x ? = 80 par tâtonnement, ou par 80 : 5 = (80 : 10) x 2 = 8 x 2 = 16 ou encore par la division euclidienne DE(80,5) qui est une division exacte dans ce cas).
    I.iii : Procédure utilisant les propriétés de linéarité (au programme de 2002). Dans cette situation, le poids est proportionnel au nombre de carrés de chocolat. Par exemple : 200 g pour 40 carrés, c'est aussi 100 (= 200/2) g pour 20 (= 40/2) carrés ou 20 (= 200/10) g pour 4 (= 40/10) carrés, puis 80 (= 100 - 20) g pour 16 (= 20 - 4) carrés.
    Remarques : les procédures utilisant les propriétés de linéarité (tantôt additive, tantôt multiplicative) ne sont pas favorisées par les valeurs choisies :
    a) dans 200 = 2,5 x 80, 2,5 est difficile à manipuler car décimal non entier.
    b) les relations 200 = 80 + 80 + 80/2, 80 = 200/2 - 200/10, ... ne sont pas évidentes à trouver.
    Remarque concernant les procédures graphiques : les procédures utilisant un graphique ne sont pas favorisées car rien ne suggère le tracé d'un graphique et la représentation d'une situation de proportionnalité à l'aide d'un graphique est loin d'être automatisée chez l'élève.
    Nous plaçons sur le graphique les deux points A de coordonnées (0,0) et B de coordonnées (40,200). On trace ensuite la droite (AB) (ou le segment [AB]) qui représente la situation de proportionnalité (car la représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine).
    Graphiquement, nous trouvons 16 carrés de chocolat pour un poids de 80 g (nous avons tracé la droite "horizontale" correspondant à un poids de 80 g). Nous pouvons vérifier ce résultat par n'importe quelle autre procédure.
    Remarque concernant le calcul direct de la quatrième indéterminée : la procédure par la règle de trois ou par le produit en croix ne sont pas enseignées au CM2 ; on leur préfère une procédures utilisant les rapports égaux qui permettent de donner du sens à la situation.
      II. Dans un deuxième temps, nous supposerons que l'élève utilise le nombre de colonnes de chocolat (et non le nombre de carrés ou le nombre de rangées).
    II.i. Procédure utilisant le coefficient de proportionnalité (hors des programmes de 2002). Dans cette situation, le poids est proportionnel au nombre de colonnes de chocolat. Le poids en gramme divisé par 20 (20 est obtenu en posant l'opération à trou 200 : ? = 10 et peut être résolue par tâtonnement, ou en calculant 200 : 10 = 20 (règle des 0)) donne le nombre de colonnes de chocolat. Ainsi, le nombre de colonnes de chocolat pesant 80 g est donné par 80 : 20 = 4 (le résultat de 80 : 20 peut être trouvé par tâtonnement, ou en résolvant l'opération à trou 20 x ? = 80 par tâtonnement, ou par 80 : 20 = 8 : 2 = 4).
    II.ii. Procédure utilisant le passage à l'unité (au programme de 2002). Dans cette situation, le poids est proportionnel au nombre de colonnes de chocolat. Si 10 colonnes pèsent 200 g, alors 1 colonne pèse 200 : 10 = 20 g (le résultat de 200 : 10 peut être trouvé par tâtonnement, ou en résolvant l'opération à trou 10 x ? = 200 par tâtonnement,ou par 200 : 10 = 20 (règle des 0)). Et si 1 colonne pèse 20 g, on obtient 80 g avec 80 : 20 = 4 colonnes de chocolat (le résultat de 80 : 20 peut être trouvé par tâtonnement, ou en résolvant l'opération à trou 20 x ? = 80 par tâtonnement, ou par 80 : 20 = 8 : 2 = 4).
    II.iii : Procédure utilisant les propriétés de linéarité (au programme de 2002). Dans cette situation, le poids est proportionnel au nombre de colonnes de chocolat. Par exemple : 200 g pour 10 colonnes, c'est aussi 100 (= 200/2) g pour 5 (= 10/2) colonnes ou 20 (= 200/10) g pour 1 (= 10/10) colonne, puis 80 (= 100 - 20) g pour 4 (= 5 - 1) colonnes.
    Remarques : les procédures utilisant les propriétés de linéarité (tantôt additive, tantôt multiplicative) ne sont pas favorisées par les valeurs choisies :
    a) dans 200 = 2,5 x 80, 2,5 est difficile à manipuler car décimal non entier.
    b) les relations 200 = 80 + 80 + 80/2, 80 = 200/2 - 200/10, ... ne sont pas évidentes à trouver.
      III. Dans un troisième et dernier temps, nous supposerons que l'élève utilise le nombre de rangées de chocolat (et non le nombre de carrés ou le nombre de colonnes).
    Remarques : le choix des nombres ne facilite pas une procédure utilisant le nombre de rangées de chocolat, car le résultat de 1,6 rangées est non seulement difficile à obtenir (car les calculs utilisent des décimaux non entiers), mais encore difficile à interpréter.
    2) Analysez les productions de chacun des trois élèves (procédures, erreurs).
    Bilel utilise une procédure de type I.b). Il recherche probablement le poids d'un carré de chocolat en recherchant par tâtonnement (essai avec 1 carré pour 10 g, puis 1 carré pour 5 g) le nombre tel que multiplié par 40, cela donne 200. Bilel ne commet pas d'erreur.
    Fayçal considère que la moitié de la tablette pèse 100 g et il tranche mentalement la tablette pour qu'il ne reste que 5 colonnes). Ensuite, il continue à travailler en considérant les colonnes, mais se trompe et considère qu'une colonne pèse 10 g (au lieu de 20 g) et retire par conséquent 2 colonnes (au lieu d'une) pour qu'il ne subsiste que les 80 g requis. L'erreur de Fayçal (concernant le poids d'une colonne) peut provenir d'une erreur de calcul.
    Julie sait effectuer une division pour obtenir un quotient décimal (dans le cas où la division est exacte) en utilisant l'algorithme d'Euclide (ce qui est au programme de sixième). Cependant, elle interprète mal le quotient décimal de 2,5 et considère qu'il s'agit du nombre de colonnes (au lieu du rapport dans la propriété des rapports égaux). Julie effectue donc un calcul qui pourrait être en lien avec la situation, mais elle ne comprend pas ce lien.
    Remarque : Julie utilise (pour calculer son quotient décimal) deux multiplications qui sont posées en colonne (l'une pour 20 x 8, l'autre pour 5 x 80 = (4 + 1) x 80 = 4 x 80 + 80 = 320 + 80 = 400).