Sujet de Toulouse, 2000.
    En annexe, des documents s'appuyant sur le livre Math en flèche (CE2), Collection Diagonale, Editions Nathan, pages 138, 139, 152, 153, 158, 159, 162, 163 et un extrait du BO n°7 du 27 août 1999.
    1.a) Ecrivez les relations qui définissent la division euclidienne d'un nombre entier naturel a par un nombre entier naturel b.
    1.b) Les divers résumés "Je retiens bien" correspondent-ils selon vous à ces relations ? Justifiez.
    2. Repérez et caractérisez les étapes suivies dans les quatre annexes pour l'étude de la division. Indiquez en particulier ce que les élèves apprennent de nouveau dans le passage de l'annexe 1 à l'annexe 2 puis dans le passage de l'annexe 3 à l'annexe 4. Vous justifierez vos réponses en vous appuyant sur trois exercices au maximum de chacune des annexes, que vous choisirez pour leur pertinence.
    3. Résolvez la situation 1-4 du paragraphe "1. Activité" de l'annexe 1 en appliquant la technique utilisée par Audrey dans le 1-1. Indiquez l'intérêt de cette technique pour les élèves.
    4. Pour l'annexe 2, le livre du maître conseille de ne pas donner le livre aux élèves dans un premier temps mais de copier le texte au tableau jusqu'à "le nombre de glaces que chacun aura pendant les vacances." afin de résoudre la situation. Quel est l'intérêt de cette démarche ? Justifiez. Rédigez deux solutions différentes de celle du livre que pourraient donner les élèves.
    5. Expliquez, analysez et commentez les procédures de calculs utilisées par Nicolas, Anna et Ronald dans l'annexe 3.
    6. Faites une analyse critique de l'étude de la division telle qu'elle est présentée dans cet ouvrage en vous appuyant sur les projets des textes d'application des nouveaux programmes présentés dans l'annexe 5.
Annexe 1

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Annexe 2

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Annexe 3

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Annexe 4

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Annexe 5
    La division
    L'existence des calculettes oblige à reconsidérer globalement l'apprentissage de la division.
    Alors que les techniques de l'addition, de la soustraction et, de façon plus délicate, la technique de la multiplication permettent d'enrichir le sens que les élèves donnent à chaque opération, il n'en est pas de même pour la division. Apprendre à faire une division est un travail formel qui n'éclaire pas le sens de cette opération et qui par ailleurs prend beaucoup de temps. D'autre part, même si l'élève parvient à acquérir cette technique, celle-ci est souvent vite oubliée.
    - la division doit être liée à la question "combien de fois" un nombre est-il contenu dans un autre. On travaillera d'abord par soustractions successives (combien de boîtes de 6 oeufs peut-on remplir complètement avec 26 oeufs ? Combien reste-t-il d'œufs à ranger ?). On posera aussi des problèmes pour retrouver le dividende (on a rempli 8 boîtes de 6 oeufs, il reste 4 oeufs à ranger, combien y en avait-il ?).
    L'objectif est d'apprendre à l'élève à jongler de toutes les manières possibles avec les éléments de l'égalité (diviseur x quotient) + reste = dividende : en connaissant trois éléments, il doit savoir déterminer le quatrième. Mais l'égalité précédente n'est pas forcément claire pour qui ne maîtrise pas encore la priorité des opérations ou le rôle des parenthèses. C'est pourquoi, à seule fin de mieux mémoriser le rôle de chaque élément, on proposera encore la disposition classique, mais en restant dans le champ de la table de multiplication liée au diviseur (si on divise par 6, le dividende ne dépassera pas 60) :
    26 | 6  
      2 | 4

    soit :

    		 dividende |  diviseur
    reste        |  quotient
    - la division euclidienne sera vue également en encadrant le dividende par deux multiples consécutifs du diviseur. La façon dont est posée la question est importante et permet un travail sur la lecture et la compréhension (combien faut-il de boîtes de 6 oeufs pour transporter 26 oeufs ? Cette fois la réponse est 5).
    - la division exacte dans l'ensemble des nombres entiers sera également vue comme opération réciproque de la multiplication (par exemple, en liaison avec la géométrie, on fera retrouver une dimension d'un rectangle connaissant l'aire et une autre dimension).
Solution