Sujet d'Amiens, 2001.
    Réponses
    1) Dans l'activité de calcul rapide proposée, quelles sont les procédures de résolution attendues par le maître ?
    Dans la majorité des calculs, l'utilisation de la règle des zéros (ou la règle des zéros généralisée) et la connaissance des tables de multiplication permet de conclure : dans l'exemple du calcul de 6 x 20, la connaissance des tables donne 6 x 2 = 12 et la règle des zéros achève le calcul.
    Remarque : la règle des zéros stipule que pour multiplier un nombre entier par 10, il suffit d'adjoindre un 0 à droite de l'écriture chiffrée de ce nombre ; lorsque cette règle est réitérée dans un même calcul, on parle de la règle des zéros généralisée.
    Deux des calculs ne relèvent cependant pas de cette procédure ...
    Remarque : la table de n (n étant un entier naturel) est l'ensemble des calculs des produits 1 x n, 2 x n, ... jusqu'à 9 x n, (voire 10 x n quelquefois) ; les tables usuelles sont celles des nombres entiers de 1 à 10.
    Formulez deux arguments qui permettent de juger de la pertinence de l'activité ?
    Pertinence ...
    Quelles sont les propriétés explicitement ou implicitement utilisées par les élèves ?
    Pour répondre à cette question, voici le détail du calcul de 20 x 80 :
    2) Quelle est la propriété visée au travers de ces quatre problèmes ?
    La propriété visée est celle de la distributivité de la multiplication sur l'addition, i.e. (a + b) x c = a x c + b x c.
    3) Lors du bilan, sur quoi le maître va-t-il insister ?
    L'élève a le choix entre le calcul d'une expression développée et celui d'une expression factorisée. Le maître va alors insister sur l'intérêt principal de l'écriture factorisée, à savoir, de transformer un calcul contenant plusieurs multiplications en un calcul qui n'en contient qu'une.
    Remarque : Dans l'égalité (a + b) x c = a x c + b x c, l'écriture factorisée est (a + b) x c et l'écriture développée est a x c + b x c.
    4) Le travail de groupe proposé en phase 1 vous paraît-il justifié ?
    Avantages :
    Inconvénients :
    Questions relatives à la séquence du jeudi 16 mars 2000 (annexe 2).
    5) Quel est l'objectif principal du maître pour cette séquence ?
    Il s'agit de l'utilisation de la distributivité de la multiplication sur l'addition.
    6) Quelles observations l'enseignant cherche-t-il à faire expliciter par les élèves lors de la phase 1 de l'activité ?
    Observations à faire expliciter par les élèves lors de la phase 1 de l'activité ...
    7) La fiche polycopiée propose trois exercices plus un exercice du fichier en usage dans la classe. Décrivez un exercice qui pourrait se trouver dans ce fichier et qui soit bien sûr différent des trois qui figurent déjà dans cette fiche.
    Quelques exemples :
    a) Dans un autre cadre, par exemple en géométrie sur un calcul d'aire ... Evaluer le nombre de petits carreaux orangés dans la figure ci-dessous :
                                                         
                                                         
                                                         
                                                         
                                                         
                                                         
                                                         
                                                         
                                                         
                                                         
                                                         
                                                         
                                                         
                                                         
                                                         
    [Mise en facteur de 6.]
    b) Dans un calcul moins stéréotypé (où le terme à mettre en facteur n'est pas toujours situé à gauche des produits ou à droite des produits, mais de part et d'autre), par exemple (11 x 42) + (42 x 61) + (4 x 42 x 7) = 42 x ...... [Mise en facteur de 42.]
    8) Donnez deux arguments qui pourraient justifier la réalisation de ce polycopié à ce moment-ci de la séquence.
    Tout d'abord, il semble important de souligner q'il est temps pour le maître de présenter une évaluation individuelle de l'élève.
    L'enseignant veut également savoir si l'élève est capable
    Il n'est pas nécessaire de relater les défauts d'un tel polycopié ...
    Questions relatives à la séquence du lundi 20 mars 2000 (annexe 3).
    9) Dans l'activité de calcul rapide proposée, quelles sont les procédures de résolution attendues par le maître ? Pouvez-vous formuler deux arguments qui permettent de juger de la pertinence de l'activité ?
    Dans chacun des calculs, le multiplicateur est simple (un seul chiffre) mais suffisamment grand pour rendre inadéquate une procédure utilisant l'addition itérée.
    Dans chacun des calculs, une décomposition canonique du multiplicande et l'utilisation de la propriété de distributivité de la multiplication sur l'addition permet d'obtenir le résultat escompté : dans l'exemple du calcul de 8 x 12, 8 x 12 = 8 x (10 + 2) = 8 x 10 + 8 x 2 = 80 + 16 = 96.
    Remarque : Dans la multiplication a x b, a s'appelle le multiplicateur et b s'appelle le multiplicande.
    10) Quelles sont les procédures que l'on peut voir apparaître dans le calcul de 124 x 23 ?
    Procédures :
    11) Comment le maître pourrait-il utiliser l'une de ces procédures pour mettre en évidence l'algorithme usuel de la multiplication dans le calcul de 124 x 23 ?
Décomposition canonique du multiplicateur
1 2 4
x 2 3
3 7 2 124 x 3
+ 2 4 8 0 124 x 20
2 8 5 2
Décomposition canonique du multiplicande
1 2 4
x 2 3
9 2 4 x 23
+ 4 6 0 20 x 23
+ 2 3 0 0 100 x 23
2 8 5 2
"Per gelosia"
1 2 4
x 2 3
1 2 4 x 3
+ 6 0 20 x 3
+ 3 0 0 100 x 3
+ 8 0 4 x 20
+ 4 0 0 20 x 20
+ 2 0 0 0 100 x 20
2 8 5 2
    Afin de préparer les élèves à la disparition des "0" de position, ces "0" peuvent être d'une autre couleur ...
    Questions relatives à l'ensemble des trois séquences.
    12) Les choix pédagogiques du maître vous paraissent-ils en accord avec les programmes officiels ? Argumentez votre réponse.
    Arguments pour.
    Arguments contre.