Solution [Limoges, 2001]
    1. Trouver tout entier naturel à un chiffre, égal au chiffre des unités de son carré.
    Il me suffit de faire un tableau ...

    Chiffre
    des
    unités
    du
  Carré carré
  du du
Nombre nombre nombre
0 0 0
1 1 1
2 4 4
3 9 9
4 16 6
5 25 5
6 36 6
7 49 9
8 64 4
9 81 1



  refusé  
  validé  

    Les nombres qui sont égaux au chiffre des unités de leurs carrés sont 0, 1, 5 et 6.
    2. Soit A un entier naturel à deux chiffres tel que A et A2 aient à la fois même chiffre des unités et même chiffre des dizaines.
    2.a) Quels sont les chiffres des unités possibles pour A ?
    J'ai A = [ab](10) = 10 x a + b, donc A2 = (10 x a + b)2 = a2 x 100 + (2 x a x b) x 10 + b2, et le chiffre des unités de A2 est le même que celui de b2 (i.e. celui du carré de son chiffre des unités).
    Enfin, d'après le question 1., le chiffre des unités de A (i.e. b) est 0, 1, 5 ou 6.
    2.b) Donner, en explicitant la démarche suivie, toutes les valeurs possibles pour A.
    Je travaille sur les diverses éventualités pour b :
    Si b = 0, alors A = [a0](10) = 10 x a et A2 = (10 x a)2 = a2 x 100 et le chiffre des dizaines de A2 est 0. Ensuite, la condition "A et A2 ont à la fois même chiffre des unités et même chiffre des dizaines" me fournit a = 0, puis A = 0 (la solution A = 0 est écartée selon l'argument que ce nombre ne possède pas deux chiffres).
    Si b = 1, alors A = [a1](10) = 10 x a + 1 et A2 = (10 x a + 1)2 = a2 x 100 + 2 x a x 10 + 1 et le chiffre des dizaines de A2 est celui de 2 x a. Ensuite, la condition "A et A2 ont à la fois même chiffre des unités et même chiffre des dizaines" me fournit a et le chiffre des unités de 2 x a sont égaux.
    Chiffre
    des
    unités
    de
a 2a 2a
0 0 0
1 2 2
2 4 4
3 6 6
4 8 8
5 10 0
6 12 2
7 14 4
8 16 6
9 18 8



  refusé  
  validé  
    et le cas b = 1 ne fournit pas de solution.
    Si b = 5, alors A = [a5](10) = 10 x a + 5 et A2 = (10 x a + 5)2 = a2 x 100 + a x 100 + 2 x 10 + 5 et le chiffre des dizaines de A2 est 2. Ensuite, la condition "A et A2 ont à la fois même chiffre des unités et même chiffre des dizaines" me fournit a = 2.
    Enfin, A = 25 est solution !
    Si b = 6, alors A = [a6](10) = 10 x a + 6 et A2 = (10 x a + 6)2 = a2 x 100 + a x 120 + 3 x 10 + 6 = (a2 + a) x 100 + (2 x a + 3) x 10 + 6 et le chiffre des dizaines de A2 est celui de 2 x a + 3. Ensuite, la condition "A et A2 ont à la fois même chiffre des unités et même chiffre des dizaines" me fournit a et le chiffre des unités de 2 x a + 3 sont égaux.
    Chiffre
    des
    unités
    de
a 2a+3 2a+3
0 3 3
1 5 5
2 7 7
3 9 9
4 11 1
5 13 3
6 15 5
7 17 7
8 19 9
9 21 1



  refusé  
  validé  
    Enfin, A = 76 est solution !
    Au final les deux solutions sont A = 25 et A = 76.
    3. Donner, sans justification, un entier naturel B a trois chiffres tel que B et B2 aient à la fois même chiffre des unités, même chiffre des dizaines et même chiffre des centaines.
    Pour cette question, aucune justification n'est requise : je pourrais me contenter de donner l'une des deux solutions parmi B = 625 et B = 376.
    Cependant, voici quelques pistes pour une éventuelle démonstration :
    1° B se termine forcément par 00, par 25 ou par 76 (je pourrais montrer que les seuls deux derniers chiffres d'un nombres permettent de déterminer les deux derniers chiffres de son carré, soit par des manipulations algébriques, soit par la pose de l'opération avec cache).
    2° Je propose alors un tableau qui présente toutes les éventualités pour B...
    Trois
    derniers
    chiffres
B B2 de B2
0 0 000
100 10000 000
200 40000 000
300 90000 000
400 160000 000
500 250000 000
600 360000 000
700 490000 000
800 640000 000
900 810000 000
25 625 625
125 15625 625
225 50625 625
325 105625 625
425 180625 625
525 275625 625
625 390625 625
725 525625 625
825 680625 625
925 855625 625
76 5776 776
176 30976 976
276 76176 176
376 141376 376
476 226576 576
576 331776 776
676 456976 976
776 602176 176
876 767376 376
976 952576 576



  refusé  
  validé  
    3° Je conclus. Au final les deux solutions sont B = 625 et B = 376 (la solution B = 0 est écartée selon l'argument que ce nombre ne possède pas trois chiffres).