Sujet de Guyane, 2003.
    Réponses
    1) A quelle notion mathématique cette situation fait-elle référence ?
    La principale notion mathématique sous-jacente est la proportionnalité.
    2) Préciser les étapes principales d'un raisonnement permettant de résoudre ce problème.
    A. Procédure disponible par un élève de cycle 3 ...
    Retour à l'unité pour le lait. L'élève se ramène à chercher la quantité correspondant à une part de lait dans le mélange A (dans le mélange B, c'est donné).

    PRODUIT A PRODUIT B
    Chocolat Lait Chocolat Lait
    3 2 2 1
    1,5 1

    Pour une part de lait, il y a plus de chocolat dans le mélange B (l'élève sait intercaler une fraction entre deux entiers consécutifs ou comparer les décimaux à partir des écritures décimales 1,5 < 2). Le mélange B aura donc plus le goût de chocolat.
    B. Procédures non disponibles par un élève de cycle 3 ...
    i. Retour à l'unité pour le chocolat. L'élève se ramène à chercher la quantité correspondant à une part de lait dans le mélange A (dans le mélange B, c'est donné).

PRODUIT A PRODUIT B
Chocolat Lait Chocolat Lait
3 2 2 1
1  environ 0,67 1  0,5

    Pour une part de chocolat, il y a plus de lait dans le mélange A (par recours aux portions de disques, l'élève devrait pouvoir visualiser que 1/2 < 2/3). Le mélange A aura donc moins le goût de chocolat.
    NB1 : L'élève ne peut pas passer par les fractions, car le lien entre fraction et division (ou 2/3 = 2 : 3) n'est pas du ressort du cycle 3.
    NB2 : L'élève ne peut pas situer approximativement le résultat de 2 : 3 (entre 0,6 et 0,7, par exemple), si ce n'est qu'en utilisant la calculatrice (mais on va supposer que cet exercice devait être réalisé sans calculatrice) car l'algorithme de la division continué pour obtenir un quotient décimal est du ressort du collège et car un raisonnement du type 0,6 < 2 : 3 < 0,7 équivaut à dire que 6 < 20 : 3 < 7 lie indirectement la division euclidienne et la division pour obtenir un quotient décimal, ce qui est également du ressort du collège car le quotient est décimal non entier.
    ii. Comparaison des fractions 3/5 (proportion de chocolat dans le mélange A) et 2/3 (proportion de chocolat dans le mélange B). On peut comparer ces fractions en utilisant le produit en croix ou la réduction au même dénominateur. Et, comme 2/3 > 3/5, il y a plus de goût chocolaté dans le mélange B.
    NB : Un élève de cycle 3 ne peut comparer que des fractions de même dénominateur.
    3) Analyser les procédures de chaque élève.
    Linda ne comprend pas que la situation relève de proportionnalité : au lieu de comparer les proportions de chocolat dans chacun des mélanges, elle compare les quantités.
    Nathalie compare les parts de chocolat nécessaires pour deux parts de lait (il s'agit d'une procédure exacte qui aurait pu être détaillée lors de la question 2)), en utilisant probablement la propriété multiplicative de linéarité.
PRODUIT B
Chocolat Lait
2 1
2 x 2 = 4 2 x 1 = 2
    Depuis 3 < 4, elle déduit que le produit B est plus chocolaté.
    Célia compare les parts de chocolat nécessaires pour deux parts de lait (il s'agit d'une procédure exacte qui aurait pu être détaillée lors de la question 2)), mais, pour traiter cette situation, elle utilise une règle que l'on rencontre trop souvent chez les élèves, et qui demeure inexacte : additionner 1 aux deux valeurs du tableau (plus généralement, additionner une même quantité).
PRODUIT B
Chocolat Lait
2 1
2 + 1 = 3 1 + 1 = 2
    Loïc présente une solution correcte, mais son explication est incompréhensible : il semble qu'il ait perçu le fait que le mélange A contienne deux parts de lait alors que le mélange B contient une part de lait, mais il n'y a pas de trace d'un traitement des quantités de chocolat.
    Antoine utilise correctement la procédure décrite en A.i, à la question 2).
    4) Proposer une rédaction plus achevée de la réponse d'Antoine.
    Nouvelle rédaction de la réponse d'Antoine.
ANTOINE
Réponse : le mélange B.
Explications : "Parce que dans la recette A, pour une part de lait, il n'y a qu'une part et demie de chocolat, alors que dans la recette B, pour une part de lait, il y a deux parts de chocolat.