Exercice [Grenoble, 2004]

Deux joueurs font la "course à 10 par pas de 2" : le premier joueur choisit 1 ou 2, puis chacun, à tour de rôle, ajoute 1 ou 2 au résultat de son adversaire ; le gagnant est celui qui annonce 10 en premier.

Par exemple, dans la première partie, le joueur A commence et dit : "1" ; le joueur B dit : "1 + 2 = 3" ; A dit : "3 + 2 = 5" ; B dit "5 + 1 = 6" ; A dit : "6 + 2 = 8" ; B dit : "8 + 2 = 10" et gagne.

1) Dans la deuxième partie, le joueur A arrive à 7 et dit à B : "J'ai gagné !". Justifiez cette affirmation.

2) Dans la troisième partie, le joueur B commence, dit un nombre et annonce : "J'ai gagné !". Quel est ce nombre ?

Le jeu change ! Deux joueurs font la "course à 10 par pas de 3" : le premier joueur choisit 1, 2 ou 3, puis chacun, à tour de rôle, ajoute 1, 2 ou 3 au résultat de son adversaire ; le gagnant est celui qui annonce 10 en premier.
3) Quel nombre le joueur qui commence la partie doit-il annoncer pour être sûr de gagner ?

Le jeu change ! Deux joueurs font la "course à 12 par pas de 3" : le premier joueur choisit 1, 2 ou 3, puis chacun, à tour de rôle, ajoute 1, 2 ou 3 au résultat de son adversaire ; le gagnant est celui qui annonce 12 en premier.
4) Pourquoi le joueur qui commence est-il sûr de perdre ?

Le jeu change ! N est un entier naturel strictement supérieur à 3. Deux joueurs font la "course à N par pas de 3" : le premier joueur choisit 1, 2 ou 3, puis chacun, à tour de rôle, ajoute 1, 2 ou 3 au résultat de son adversaire ; le gagnant est celui qui annonce N en premier.
5) Quelle(s) condition(s) nécessaire(s) et suffisante(s) doivent respecter les nombres N pour que le joueur qui commence soit sûr de gagner ?

Solution