Solution [Grenoble, 2004]

    1) En effet, le joueur qui a annoncé : "7" gagne :
    2) On a vu dans la question précédente que le joueur qui parvient en premier à 7 gagne. On montrerait de la même façon que le joueur qui parvient en premier à 4 gagne, puis que le joueur qui parvient en premier à 1 gagne. Le joueur qui commence doit donc annoncer : "1".
    3) En reprenant la question 1 avec la nouvelle règle, un joueur qui annonce : "6" a gagné. En effet,
    En reprenant la question 2 avec la nouvelle règle, un joueur qui annonce : "2" a également gagné. Et, celui qui commence doit donc annoncer : "2" pour être sûr de gagner.
    4) En reprenant la question 1 avec la nouvelle règle, un joueur qui annonce : "8" a gagné. En effet, - si l'autre dit alors : "8 + 1 = 9", le joueur qui a annoncé : "8" dira : "9 + 3 = 12" et gagnera ; - si l'autre dit alors : "8 + 2 = 10", le joueur qui a annoncé : "8" dira : "10 + 2 = 12" et gagnera ; - enfin, si l'autre dit alors : "8 + 3 = 11", le joueur qui a annoncé : "8" dira : "11 + 1 = 12" et gagnera.
    En reprenant la question 2 avec la nouvelle règle, un joueur qui annonce : "4" a également gagné. Cependant, quelque soit le choix du joueur qui commence, il est sûr de perdre car
    5) Dans la "course à N par pas de 3", le joueur qui joue en second est sûr de pouvoir atteindre tous les multiple de 4 non nuls en adoptant la stratégie suivante : - si le joueur qui a commencé ajoute 1 (ou s'il dit : "1" pour commencer), il ajoute 3 et parvient sur un multiple de 4 non nul : en effet, à deux, ils ont donc ajouté 4 depuis un autre multiple de 4 non nul et arrivent donc encore sur un multiple de 4 non nul (ou obtient 4 qui est aussi un multiple de 4 non nul) ; - si le joueur qui a commencé ajoute 2 (ou s'il dit : "2" pour commencer), il ajoute 2 et parvient sur un multiple de 4 non nul : même raison que celle évoquée au point précédent ; - enfin, si le joueur qui a commencé ajoute 3 (ou s'il dit : "3" pour commencer), il ajoute 1 et parvient sur un multiple de 4 non nul : même raison que celle évoquée au point précédent.
    Il s'ensuit que si N est un multiple de 4 non nul, le joueur qui joue en second est sûr de gagner. Avec la même stratégie, on montrerait de la même façon que : - le joueur qui commence en annonçant : "1" est sûr de pouvoir atteindre toutes les valeurs du type "4 x k + 1" avec k entier naturel ; - le joueur qui commence en annonçant : "2" est sûr de pouvoir atteindre toutes les valeurs du type "4 x k + 2" avec k entier naturel ; - le joueur qui commence en annonçant : "3" est sûr de pouvoir atteindre toutes les valeurs du type "4 x k + 3" avec k entier naturel.
    Ainsi, si le nombre est de la forme "4 x k" avec k entier naturel (i.e. un multiple de 4), c'est le joueur qui joue en second qui est sûr de gagner ; et sinon (i.e. s'il est de la forme "4 x k + 1", "4 x k + 2" ou "4 x k + 3" avec k entier naturel), c'est le joueur qui joue en premier qui est sûr de gagner. Condition nécessaire et suffisante requise : "N ne doit pas être multiple de 4."