Solution : alignement

Je commence par tracer la figure.

Je vais démontrer le résultat en utilisant les angles.

L'angle mesure 60° car le triangle AEB est équilatéral.

Le triangle DAE est isocèle en A car DA = AB (puisque le quadrilatère ABCD est un carré) et AB = AE (puisque ABE est un triangle équilatéral), puis AD = AE. De plus, l'angle mesure 30° car = - = (90 - 60)° = 30° (l'angle mesure 90° car le quadrilatère ABCD est un carré ; l'angle mesure 60° car le triangle BAE est équilatéral). Je déduis que l'angle mesure ((180 - 30)/2)° = 75° car la somme des mesures des angles d'un triangle est de 180° et car les angles à la base dans un triangle isocèle sont égaux.

Le triangle EBF est isocèle en B car BE = BA (puisque ABE est un triangle équilatéral), BA = BC (puisque le quadrilatère ABCD est un carré) et BC = BF (puisque BCF est un triangle équilatéral), puis BE = BF. De plus, l'angle mesure 90° car = - + + = (- 60 + 90 + 60)° = 90° (l'angle mesure 60° car le triangle BAE est équilatéral ; l'angle mesure 90° car le quadrilatère ABCD est un carré ; l'angle mesure 60° car le triangle DBF est équilatéral). Je déduis que l'angle mesure ((180 - 90)/2)° = 45° car la somme des mesures des angles d'un triangle est de 180° et car les angles à la base dans un triangle isocèle sont égaux.

Je conclus = + + = (75 + 60 + 45)° = 180° et donc D, E et F sont alignés.