Solution : cocyclicité ...

    Question 1 : Dresser la figure en prenant huit centimètres comme mesure du rayon.
    Je n'ai qu'à suivre les instructions.
    La figure ...


    Question 2 a : Que mesure l'angle ? Que mesure l'angle ?
    Je vais utiliser le fait que le triangle OAB est isocèle en O ...
    Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux et, comme dans tout triangle, la somme des mesures des angles vaut 180°.
    Ainsi, = = ((180 - 30)/2)° = 75°.
    Question 2 b : Que mesure l'angle ? Que mesure l'angle ?
    J'utilise la même propriété, et = = ((180 - 50)/2)° = 65°.
    Question 2 c : Que mesure l'angle ? Que mesure l'angle ?
    J'utilise encore la même propriété, et = = ((180 - 30)/2)° = 75°.
    Question 2 d : Que mesure l'angle ? Que mesure l'angle ?
    J'utilise encore la même propriété, et = = ((180 - (30 + 50 + 30))/2)° = 35°.
    Question 2 e : Que dire des droites (AD) et (BC) ?
    Je vais tenter de montrer qu'elles sont parallèles ...
    J'appelle J le point de concours des droites (AB) et (CD).
    Je vais tout d'abord calculer l'angle par = - = (75 - 35)° = 40°.
    Je vais ensuite calculer l'angle par = + = (65 + 75)° = 140°. Je déduis = 40° (car + = 180°).
    Les angles correspondants et sont égaux et donc les droites (AD) et (BC) sont parallèles.
    Et, le quadrilatère ABCD est un trapèze.
    Question 3 a : Comparer les angles et ?
    J'utilise le théorème de l'angle au centre (je pourrais aussi poursuivre en utilisant les propriétés des triangles isocèles).
    Et, = /2 = 15°.
    Question 3 b : Comparer les angles et ?
    De même que précédemment, j'obtiens, = /2 = 15°.
    En conclusion, = = 15°.
    Question 3 c : Que mesure l'angle ?
    La somme des mesures des angles d'un triangle étant de 180°, je déduis que = 180° - - = 180° - - = 180° - 15° - 15° = 150°.
    Par conséquent, = 180° - = 30°.
    Question 4 : Si l'angle ne mesurait pas cinquante mais α degrés,
    1. le quadrilatère ABCD serait-il un trapèze ?
    2. la mesure de l'angle
    changerait-elle ?
    Qu'est-ce que cela change ?
    Juste la suite des calculs ...
    = = ((180 - 30)/2)° = 75°.
    = = ((180 - α)/2)° = (90 - α/2)°.
    = = ((180 - 30)/2)° = 75°.
    = = ((180 - (30 + α + 30))/2)° = (60 - α/2)°.
    = - = (75 - (60 - α/2))° = (15 + α/2)°.
    = + = ((90 - α/2) + 75)° = (165 - α/2)°.
    = (180 - (165 - α/2))° = (15 + α/2)°.
    Les angles correspondants et sont égaux et donc les droites (AD) et (BC) sont parallèles.
    Et, le quadrilatère ABCD est donc toujours un trapèze.
    = /2 = 15°.
    = /2 = 15°.
    = 180° - - = 180° - - = 180° - 15° - 15° = 150°.
    Par conséquent, = 180° - = 30°.
    La mesure de l'angle ne dépend pas de la valeur de α.