Solution :
cocyclicité ...
Question 1 : Dresser la figure en
prenant huit centimètres comme mesure du rayon.
Je n'ai qu'à suivre les instructions.
La figure ...
- Question 2 a : Que mesure l'angle
? Que mesure l'angle ?
Je vais utiliser le fait que le triangle OAB
est isocèle en O ...
Dans un triangle isocèle, les angles
à la base sont égaux et, comme dans tout triangle, la
somme des mesures des angles vaut 180°.
Ainsi,
=
= ((180 - 30)/2)° = 75°.
- Question 2 b : Que mesure l'angle
? Que mesure l'angle ?
J'utilise la même
propriété, et = = ((180 - 50)/2)° = 65°.
- Question 2 c : Que mesure l'angle
? Que mesure l'angle ?
J'utilise encore la même
propriété, et = = ((180 - 30)/2)° = 75°.
- Question 2 d : Que mesure l'angle
? Que mesure l'angle ?
J'utilise encore la même
propriété, et = = ((180 - (30 + 50 + 30))/2)° = 35°.
- Question 2 e : Que dire des droites (AD)
et (BC) ?
Je vais tenter de montrer qu'elles sont
parallèles ...
J'appelle J le point de concours des
droites (AB) et (CD).
Je vais tout d'abord calculer l'angle par = - = (75 - 35)° = 40°.
Je vais ensuite calculer l'angle par = + = (65 + 75)° = 140°.
Je déduis = 40°
(car
+
=
180°).
Les angles correspondants et sont égaux et donc les
droites (AD) et (BC)
sont parallèles.
Et, le
quadrilatère ABCD est un trapèze.
- Question 3 a : Comparer les angles et
?
J'utilise le théorème de l'angle
au centre (je pourrais aussi poursuivre
en utilisant les propriétés des triangles
isocèles).
Et,
= /2
= 15°.
- Question 3 b : Comparer les angles
et
?
De même que précédemment,
j'obtiens,
= /2
= 15°.
En conclusion, = = 15°.
- Question 3 c : Que mesure l'angle
?
La somme des mesures des angles d'un triangle
étant de 180°, je déduis que =
180° - - =
180° - - =
180° - 15° - 15° = 150°.
Par conséquent, = 180° - = 30°.
Question 4 : Si l'angle ne mesurait pas cinquante mais α
degrés, - 1.
le
quadrilatère ABCD serait-il un trapèze ?
- 2. la mesure de l'angle
changerait-elle ?
Qu'est-ce que cela change ?
Juste la suite des calculs ...
=
=
((180 - 30)/2)° = 75°.
=
=
((180 - α)/2)° = (90 -
α/2)°.
=
=
((180 - 30)/2)° = 75°.
=
=
((180 - (30 + α + 30))/2)° = (60
-
α/2)°.
=
-
=
(75 - (60 - α/2))° = (15 +
α/2)°.
=
+
=
((90 - α/2) + 75)° = (165
- α/2)°.
= (180 - (165 -
α/2))° = (15 + α/2)°.
Les angles correspondants et sont égaux et donc les
droites (AD) et (BC)
sont parallèles.
Et, le
quadrilatère ABCD est donc toujours un trapèze.
=
/2
= 15°.
=
/2
= 15°.
=
180° - - = 180° -
-
= 180° - 15°
- 15° = 150°.
Par conséquent, = 180° - = 30°.
La mesure de l'angle ne dépend pas de la valeur de α.