Solution : reste dans la division euclidienne par 8 du carré d'un impair
    Je commence par les exemples :
    12 = 1 = 0 x 8 + 1 ;
    32 = 9 = 1 x 8 + 1 ;
    52 = 25 = 3 x 8 + 1 ;
    72 = 49 = 6 x 8 + 1 ...
    Il me faut maintenant attaquer la démonstration ... Je vais commencer par tenter de mathématiser le problème.
    Je sais que lorsqu'un nombre μ est impair, il peut s'écrire sous la forme μ = 2 x k + 1 où k est un entier naturel.
    Je vais continuer la mathématisation.
    On me demande de prouver quelque chose sur μ2, je développe donc l'expression de μ2 :
    μ2 = (2 x k + 1)2 = 4 x k2 + 4 x k + 1.
    Maintenant, l'objectif est de faire apparaître dans cette expression l'égalité de la division euclidienne de μ2 par 8 avec un reste égal à 1.
    Je pense que je devrais maintenant y arriver.
    J'ai μ2 = 4 x k x (k + 1) + 1.
    Dans cette dernière expression, j'ai déjà mis en évidence le nombre 1 qui devrait être le reste de ma division euclidienne. Il ne me reste donc plus qu'à mettre 8 en facteur dans l'expression 4 x k x (k + 1).
    Alors, de deux choses l'une k est pair ou k est impair.
    Si k est pair, je peux trouver un entier m tel que k = 2 x m, et
    4 x k x (k + 1) = 4 x 2 x m x (2 x m + 1) = 8 x m x (2 x m + 1)
    et j'ai mis 8 en facteur dans ce nombre.
    Si k est impair, je peux trouver un entier n tel que k = 2 x n + 1, et
    4 x k x (k + 1) = 4 x (2 x n + 1) x (2 x n + 2) = 8 x (2 x n + 1) x (n + 1)
    et j'ai mis 8 en facteur dans ce nombre.
    Ainsi, dans tous les cas, si μ est impair, le reste dans la division de μ2 par 8 est 1.