- Solution : la
trisection de la diagonale d'un parallélogramme
Je commence par tracer la figure.
Dans l'animation ci-dessous, les points A, B et D
sont mobiles.
Première démonstration ...
Soit O l'intersection des diagonales du
parallélogramme ABCD. O est milieu du segment [AC]
car les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur
milieu. Ainsi, [DO] est une médiane du triangle ADC.
D'autre part, J est milieu du segment [CD].
Ainsi, [AJ] est une médiane du triangle ADC.
Par suite, le point E est le point de
concours de deux médianes du triangle ADC et est le
centre de gravité de ce triangle.
Enfin, DE = 2 x EO
(propriété du centre de gravité d'un triangle).
De la même façon, on obtiendrait BF
= 2 x FO
(avec F centre de gravité du triangle ABC).
Cependant, O est aussi milieu du segment [BD] car les
diagonales d'un parallélogramme se coupent
en leur milieu. Donc, DO = DE + EO = OB = OF + FB, puis 2 x EO + EO = 3 x EO = OF + 2 x OF = 3 x OF, et EO
= OF.
Ainsi, DE = EF = FB
(= 2 x EO).
Deuxième démonstration ...
Le quadrilatère AICJ est un
parallélogramme (car AI = AB/2 = CD/2 = CJ -puisque I
est milieu du segment [AB], AB = CD car ABCD
est un parallélogramme et J est milieu du segment [CD]-
et car les droites (AI) et (CJ) sont parallèles
-toujours car ABCD est un parallélogramme-).
J'utilise maintenant le théorème
de Thalès avec les sécantes (BA) et (BD)
et les parallèles (AJ) et (IC) (ces droites sont
parallèles car le quadrilatère AICJ est un
parallélogramme) (cas a)), puis avec les sécantes (DC)
et (DA) et les parallèles (AJ) et (IC)
(ces droites sont parallèles car le quadrilatère AICJ
est un parallélogramme) (cas b)), et j'obtiens - a) BI/BA
= BF/BE [= IF/AE], puis BF = BE/2 et BF = FE,
- b) DJ/DC = DE/DF [= JE/CF], puis DE = DF/2 et DE
= EF,
- et, au final, DE = EF = FB.