Solution : le parallélogramme de Varignon

1. Montrer que IJKL est un parallélogramme.

Je vais utiliser le théorème de la droite des milieux ...

Je commence par la figure.

Dans l'animation ci-dessous, les points A, B, C et D sont mobiles.

Dans le triangle ABC, I est milieu du segment [AB] et J est milieu du segment [BC]. D'après le théorème de la droite des milieux, les droites (AC) et (IJ) sont parallèles⁽¹⁾ et IJ = AC/2⁽⁵⁾. De même, les droites (BD) et (JK) sont parallèles⁽²⁾ et JK = BD/2⁽⁶⁾ ; les droites (CA) et (KL) sont parallèles⁽³⁾ et KL = CA/2⁽⁷⁾ ; les droites (DB) et (LI) sont parallèles⁽⁴⁾ et LI = DB/2⁽⁸⁾.

D'après ⁽¹⁾ et ⁽³⁾, je tire que les droites (IJ) et (KL) sont parallèles (toutes deux parallèles à la droite (AC)). De même, d'après ⁽²⁾ et ⁽⁴⁾, je tire que les droites (JK) et (LI) sont parallèles (toutes deux parallèles à la droite (BD)).

Par suite, le quadrilatère IJKL est un parallélogramme (ses côtés opposés sont parallèles).

2.a) Quelle condition nécessaire et suffisante donner (sur les diagonales du quadrilatère ABCD) pour que le quadrilatère IJKL soit un rectangle ?

Je vais d'abord supposer que le quadrilatère IJKL est un rectangle et voir ce qui découle comme propriété pour les diagonales.

Si IJKL est un rectangle, alors les droites (IJ) et (JK) sont perpendiculaires.

Mais, d'après ⁽¹⁾, les droites (AC) et (IJ) sont parallèles, donc les droites (AC) et (JK) sont perpendiculaires (théorème de composition de parallélisme et de perpendicularité).

De même, d'après ⁽²⁾, les droites (BD) et (JK) sont parallèles, donc les droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires (théorème de composition de parallélisme et de perpendicularité).

Conclusion : si IJKL est un rectangle, alors les diagonales du quadrilatère ABCD sont perpendiculaires.

Réciproquement, si les diagonales du quadrilatère ABCD sont perpendiculaires, alors les droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires.

Mais, d'après ⁽¹⁾, les droites (AC) et (IJ) sont parallèles, et comme les droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires, il vient que les droites (IJ) et (BD) sont perpendiculaires (théorème de composition de parallélisme et de perpendicularité).

Ensuite, d'après ⁽²⁾, les droites (BD) et (JK) sont parallèles, et comme les droites (IJ) et (BD) sont perpendiculaires, il vient que les droites (IJ) et (JK) sont perpendiculaires (théorème de composition de parallélisme et de perpendicularité).

Le parallélogramme IJKL (c'est un parallélogramme d'après la question 1) a donc deux côtés perpendiculaires et est, par conséquent, un rectangle.

Dans l'animation ci-dessous, les points A, B, C et D sont mobiles.

2.b) Quelle condition nécessaire et suffisante donner (sur les diagonales du quadrilatère ABCD) pour que le quadrilatère IJKL soit un losange ?

Je vais d'abord supposer que le quadrilatère IJKL est un losange et voir ce qui découle comme propriété pour les diagonales.

Si IJKL est un losange, alors IJ = JK.

Mais, d'après ⁽⁵⁾, IJ = AC/2 donc JK = AC/2.

De même, d'après ⁽⁶⁾, JK = BD/2 donc BD/2 = AC/2, puis AC = BD.

Conclusion : si IJKL est un losange, alors les diagonales du quadrilatère ABCD sont de même longueur.

Réciproquement, si les diagonales du quadrilatère ABCD sont de même longueur, alors AC = BD.

Mais, d'après ⁽⁵⁾, IJ = AC/2 donc IJ = BD/2.

De même, d'après ⁽⁶⁾, JK = BD/2 donc IJ = JK.

Le parallélogramme IJKL (c'est un parallélogramme d'après la question 1) a donc deux côtés consécutifs de même longueur et est, par conséquent, un losange.

Dans l'animation ci-dessous, les points A, B, C et D sont mobiles.

2.c) Quelle condition nécessaire et suffisante donner (sur les diagonales du quadrilatère ABCD) pour que le quadrilatère IJKL soit un carré ?

Il s'agit de bien résumer ce que je sais déjà.

Si IJKL est un carré, alors IJKL est un rectangle et donc les diagonales du quadrilatère ABCD sont perpendiculaires, mais est également un losange et donc les diagonales du quadrilatère ABCD sont de même longueur.

Ainsi, si IJKL est un carré, alors les diagonales du quadrilatère ABCD sont perpendiculaires et de même longueur.

Réciproquement, si les diagonales du quadrilatère ABCD sont perpendiculaires et de même longueur, alors IJKL est un rectangle (car les diagonales du quadrilatère ABCD sont perpendiculaires), mais également un losange (car les diagonales du quadrilatère ABCD sont de même longueur). Le quadrilatère IJKL est un rectangle et un losange et est, par conséquent, un carré.

Dans l'animation ci-dessous, les points O, C et D sont mobiles.

3. Soit IJKL un parallélogramme non aplati. Soit A un point du plan. Soit B tel que I soit milieu de [AB]. Soit C tel que J soit milieu de [BC]. Soit D tel que K soit milieu de [CD]. Soit A' tel que L soit milieu de [DA']. Montrer que A = A'.

Cette question n'est pas totalement indépendante des précédentes.

Il est encore vrai que les droites (AC) et (IJ) sont parallèles⁽¹⁾ et IJ = AC/2⁽⁵⁾. De même, il est encore vrai que les droites (BD) et (JK) sont parallèles⁽²⁾ et JK = BD/2⁽⁶⁾ ; mais, maintenant, ce sont les droites (CA') et (KL) qui sont parallèles^(3') et KL = CA'/2^(7').

Cependant, comme les droites (IJ) et (KL) sont parallèles (IJKL étant un parallélogramme), puis les droites (AC) et (A'C) également (d'après ⁽¹⁾ et ^(3'), par transitivité du parallélisme). Or les droites (AC) et (A'C) ont un point commun, C, donc ces droites sont confondues.

D'autre part, je sais également que IJ = KL (car IJKL est un parallélogramme), puis AC/2 = IJ = KL = A'C/2 (d'après ⁽⁵⁾ et ^(7')), et AC = A'C.

A et A' sont équidistants de C et sont sur une même droite, donc
a) soit A = A' (c'est effectivement le cas) ;
b) soit A et A' sont symétriques par rapport à C [ce cas est effectivement impossible, car en utilisant la réciproque de la formulation forte du théorème de Thalès -avec trois rapports égaux AI/A'L = AB/A'D = IB/LD-, j'obtiendrais que les droites (AA'), (IL) et (BD) sont parallèles, mais comme les droites (AA') et (AC) sont confondues, je pourrais déduire que les diagonales (AC) et (BD) du quadrilatère ABCD sont parallèles (par transitivité du parallélisme), puis que le quadrilatère ABCD est aplati, puis que IJKL est aplati également (remarque : on pourrait traiter algébriquement le cas du parallélogramme IJKL aplati, mais c'est inutile ici)].

Donc, A = A'.

Note : en utilisant une version algébrique du théorème de Thalès (que nous ne verrons pas !), c'était plus direct et n'utilisait pas l'hypothèse "IJKL non aplati".