Solution [Corse, 1998]

    1. Quelle est la nature du triangle HBC ? Justifier votre réponse.
    Le triangle HBC est rectangle en C car la droite (BC) est orthogonale au plan (DCG). En effet, la droite (DC) est perpendiculaire à la droite (BC) (vu que le quadrilatère ABCD est un carré) et car la droite (GC) est perpendiculaire à la droite (BC) (vu que le quadrilatère BCGF est un carré). Ainsi, la droite (BC) est perpendiculaire à toute droite du plan (DCG) et en particulier à la droite (CH).
    2. On étudie le triangle HDB.
    2.a) Calculer les mesures exactes DB et HB. (Tous les calculs doivent être justifiés.)
    2.b) Démontrer que les droites (KI) et (HB) sont parallèles. En déduire KI.
    2.c) Dessiner le triangle HDB en vraie grandeur.
    De la même façon que pour la première question, je montrerais que le triangle HDB est rectangle en D.
    [DB] est une diagonale du carré ABCD. Une application directe du théorème de Pythagore me fournit que DB = 6 x √2 cm.
    Dans le triangle HDB rectangle en D, le théorème de Pythagore me donne HB = √(HD2 + DB2) = 6 x √3 cm.
    Dans le triangle HDB, I est milieu du segment [DB] et K est milieu du segment [DH]. Le théorème de la droite des milieux me permet de déduire que les droites (IK) et (BH) sont parallèles. De plus, j'aurai KI = HB/2 = 6 x √3 cm.
    La question portant sur le dessin du triangle HDB ne requiert, a priori, pas de construction. Il me suffit donc de fournir un dessin sans explication ...
    3. On considère la pyramide de sommet H ayant pour base le triangle BCD.
    3.a) En dessiner un patron à l'échelle 1:2.
    3.b) Calculer le volume de cette pyramide.
    Là encore, il me suffit de fournir un dessin sans explication ...
    Et le volume de cette pyramide ...
    Volume(BCDH) = (Aire(BCD) x DH)/3 = (BC x CD x DH)/6 = 36 cm3 ([HD] étant une hauteur du cube, est encore une hauteur de la pyramide BCDH).