Sujet de Montpellier, 1998.
Réponses
1) Quelle notion mathématique est principalement mise en jeu dans cet exercice ?
Il s'agit d'un problème relevant de la proportionnalité, sur le thème des
agrandissements.
Selon la procédure utilisée pour résoudre la situation de proportionnalité,
les compétences en calcul diffèrent ...
2) Donner les principaux paramètres de la situation qui peuvent avoir une influence
sur la difficulté de l'exercice.
- La présence de quadrillage, et le positionnement des segments selon la trame du
quadrillage et des extrémités des segments sur les noeuds du quadrillage permettent
une mesure des segments par simple comptage au lieu d'avoir recours à la règle graduée.
- Le fait que la mesure des segments soit un nombre entier de carreaux facilite la
représentation de la mesure.
- Le fait que le taux d'agrandissement (i.e. le coefficient de proportionnalité de la
situation) soit décimal non entier ne favorise pas son utilisation (l'utilisation du
coefficient de proportionnalité est d'ailleurs hors des programmes de 2002).
- Le fait que C ne soit pas conçu comme juxtaposition de deux segments de même
longueur que B, et le fait que D ne soit pas conçu comme juxtaposition
d'un segment de même longueur que A et d'un segment de même longueur que B, ne rend pas
facilement visibles ces relations qui peuvent être utilisées dans la résolution
de la situation par les relations de linéarité.
3) Indiquer trois procédures correctes que peuvent utiliser des élèves de CM2
pour répondre au test.
Soit L la longueur d'un segment avant agrandissement, et soit L' la longueur d'un segment
après agrandissement
- I) Par l'utilisation du coefficient de proportionnalité (procédure hors des programmes 2002,
mais le sujet date d'avant 2002) : L'(S) = 1,5 x L(S).
L'élève remarque que pour passer de 6 à 9, comme de 8 à 12,
on peut multiplier par 1,5, puis réutilise ce taux d'agrandissement pour déduire
qu'on passera de 12 à 18 et de 14 à 21. L'élève peut alors soit
utiliser la multiplication de la longueur du segment avant transformation par 1,5,
soit l'addition de la longueur du segment avant transformation et de sa moitié.
- II) Par l'utilisation des propriétés de linéarité ...
- a) multiplicative : L(C) = 2 x L(B), donc
L'(C) = 2 x L'(B). Ainsi, on passera de
12 à 18.
- b) additive : L(D) = L(A) + L(B), donc
L'(D) = L'(A) + L'(B). Ainsi, on passera de
14 à 21.
4) Observer les réponses données en annexe. Relever les erreurs commises et émettre une
hypothèse plausible sur l'origine de chacune.
Soit L la longueur d'un segment avant agrandissement, et soit L' la longueur d'un segment
après agrandissement
Elève 1. Il a certainement considéré que L'(A) = L(A) + 4, sans prendre
en compte B, puis il a déduit L'(C) = L(C) + 4 et L'(D) = L(D) + 4.
Elève 2. La première réponse étant correcte et la seconde différant d'un carreau,
on peut incriminer une erreur de calcul (par exemple, en utilisant la procédure I)b) lors de
l'addition de 12 et 9 avec un surcomptage erroné).
Elève 3. Réponses correctes.
Elève 4. L'élève a reproduit les segments initiaux. Soit il n'a pas compris
la consigne, soit il est perturbé par le fait que les segments portent le même nom
avant et après transformation.
Elève 5. Il s'agit probablement du même type d'erreur que celle de l'élève 1,
avec, de surcroît, une erreur de calcul pour L'(D) (par exemple, un surcomptage
erroné).