Solution [Rouen (1), 1998]
    1.1. Est-il possible de placer une de ces boîtes entièrement dans l'autre ?
    Oui ! En effet, 36 < 40, 48 < 60 et 72 < 80.
    1.2. Est-ce qu'une des boîtes pave l'autre ? Si oui, avec combien d'exemplaires ?
    Non ! Il faudrait au minimum que 40 puisse s'écrire sous la forme 40 = a x 36 + b x 48 + c x 72 où a, b et c seraient des entiers naturels. Ce n'est évidemment pas le cas, car
    1.3. Est-ce qu'une des boîtes est un agrandissement de l'autre ? Si oui, à quelle échelle ?
    Non ! Le tableau
    36 48 72
    40 60 80
    n'est pas un tableau de proportionnalité (en effet, la règle du produit en croix n'est pas satisfaite car 36 x 60 ≠ 40 x 48) et si l'on avait eu proportionnalité sur deux grandeurs positives, l'ordre sur les deux grandeurs aurait été respecté.
    2.1. Trouvez toutes les boîtes cubiques qui pavent B1.
    Il faut ainsi trouver toutes les dimensions qui divisent à la fois 36, 48 et 72. Or, on a 36 = 22 x 32, 48 = 24 x 3 et 72 = 23 x 22, donc les diviseurs communs à ces trois nombres s'écrivent 2α x 3β où α est 0, 1 ou 2 et où β est 0 ou 1. Il résulte de tout cela que les boîtes cubiques qui pavent B1 sont de 1 centimètre de côté, de 2 centimètres de côté, de 3 centimètres de côté, de 4 centimètres de côté, de 6 centimètres de côté ou de 12 centimètres de côté.
    2.2. Combien en faut-il à chaque fois pour paver B1 ?
    Il suffit de compter ...
    Taille des Nombre
    boîtes pour paver
    (en cm) B1
    1 124416
    2 15552
    3 4608
    4 1944
    6 576
    12 72
    2.3. Quelle est celle de plus grand volume ?
    C'est évidemment celle de plus grand côté : 12 cm de côté, 1728 cm3 de volume !
    3.1. Trouvez toutes les boîtes cubiques qui pavent à la fois B1 et B2.
    Il suffit de trouver les boîtes cubiques pavant B1 qui pavent également B2. Ce n'est pas le cas de la boîte de 3 centimètres de côté (car 20 n'est pas multiple de 3), ni de la boîte de 6 centimètres de côté (car 20 n'est pas multiple de 6), ni de la boîte de 12 centimètres de côté (car 20 n'est pas multiple de 12). Par contre, les trois autres boites conviennent : celle de 1 centimètre de côté, celle de 2 centimètres de côté, celle de 4 centimètres de côté.
    3.2. Combien en faut-il à chaque fois pour paver B2 ?
    Là encore, il suffit de compter.
    Taille des Nombre
    boîtes pour paver
    (en cm) B2
    1 48000
    2 6000
    4 750
    4. Quelle est la notion mathématique sous-jacente aux questions 2 et 3 ?
    Plusieurs réponses sont possibles : diviseurs (ou multiples), diviseurs communs à plusieurs nombres, et probablement aussi le plus grand diviseur commun à plusieurs nombres (les diviseurs communs à plusieurs nombres sont les diviseurs du plus grand diviseur commun à ces nombres ; propriété importante (qui définit également) du PGCD des trois nombres a, b et c noté PGCD(a,b,c) : PGCD(a,b,c) = PGCD(a,PGCD(b,c)) = PGCD(b,PGCD(a,c)) = PGCD(c,PGCD(a,b))).