Solution [Aix, Marseille, Corse, Montpellier, Nice, 1999]

On appelle amandin un quadrilatère convexe dont deux angles opposés sont droits.

Dans l'animation suivante, les points B et D sont mobiles, mais quelles que soient leurs positions, la figure ABCD est toujours un amandin (à condition que les points B et D restent de part et d'autre de la droite (AB)).

1. Voici cinq affirmations. Répondez par vrai ou faux en justifiant votre réponse.

a) Un rectangle est un amandin.

Oui, c'est vrai ! Un rectangle est convexe. Un rectangle a également quatre angles droits, donc au moins deux de ses angles opposés sont droits et c'est un amandin.

b) Tous les trapèzes rectangles sont des amandins.

Non, c'est faux ! Il suffit de considérer un trapèze rectangle qui ne soit pas un rectangle. Le trapèze rectangle possède deux angles droits consécutifs et non deux angles droits opposés.

Note : le trapèze rectangle peut même ne pas être convexe.

c) Certains amandins sont des losanges.

Oui, c'est vrai ! Le carré est un rectangle et donc un amandin. Le carré est également un losange.

d) Un amandin dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange.

Non, c'est faux ! Soit ABC un triangle rectangle (non isocèle !) en A. Soit D le symétrique orthogonal de A par rapport à la droite (BC). ABDC est un amandin qui n'est pas un losange (BA ≠ AC) et qui a ses diagonales perpendiculaires.

e) Un amandin dont les diagonales sont de même longueur est un rectangle.

Oui, c'est vrai ! Soit ABCD un amandin avec les angles droits en A et en C. Je déduis directement que le triangle ABD est rectangle en A et donc A, B et D sont sur le cercle de diamètre [BD]. De même, le triangle CBD est rectangle en C et donc C, B et D sont sur le cercle de diamètre [BD]. Comme A et C sont sur le cercle de diamètre [BD] et que AC = BD (par hypothèse), j'obtiens que O (centre du cercle) appartient au segment [AC] (car A et C sont dans le disque de rayon OA, et d'après le cas d'égalité de l'inégalité triangulaire), puis que [AC] est également un diamètre. Enfin, les diagonales du quadrilatère ABCD se coupent en leur milieu O et sont de même longueur, ce qui implique que ABCD est un rectangle.

2. On considère l'amandin ABCD dont les angles droits sont en B et en D, tel que :
la diagonale [AC] a une longueur de 6 cm ;
la hauteur du triangle ABC issue de B mesure 2 cm ;
le triangle ADC est isocèle.

a) Construire ABCD en justifiant les tracés et les différentes étapes de la construction.

Je commence par analyser la figure.

1°) ABCD un amandin avec les angles droits en B et en D. Je déduis directement que le triangle ABC est rectangle en B et donc A, B et C sont sur le cercle de diamètre [AC]. De même, le triangle ADC est rectangle en D et donc A, D et C sont sur le cercle de diamètre [AC]. Finalement, ABCD est inscriptible dans le cercle de diamètre [AC].
2°) Dans un triangle isocèle, le sommet principal est sur la médiatrice de la base principale, et donc D est sur la médiatrice de [AB].
3°) L'ensemble des points situés à une distance d d'une droite (δ) est situé sur une parallèle (δ') à la droite (δ) telle que si (Δ) est une perpendiculaire commune à (δ) (qu'elle coupe en le point A) et (δ') (qu'elle coupe en le point A') tel que AA' = d.

Je peux maintenant passer à l'algorithme de construction à la règle graduée et au compas.

Je trace un segment [AC] qui mesure 6 cm.
Je trace la médiatrice (d) du segment [AC] qui coupe le segment [AC] en son milieu O (voir cours pour le tracé d'une médiatrice).
Je trace le cercle Γ de centre O, de rayon OA qui coupe la droite (d) en deux points distincts dont l'un que je baptise D.
Sur la droite (d), je place le point I tel que le segment [OI] mesure 2 cm et tel que D et I soient de part et d'autre de O.
Je trace la parallèle à la droite (AC) passant par le point I (voir cours pour la construction d'une parallèle à une droite passant par un point donné) et qui coupe le cercle Γ en deux points dont un que je baptise B.
Je trace le quadrilatère ABCD.

Dans l'animation ci-dessous, la flèche du bas à gauche permet de suivre les étapes de la construction de la figure pas à pas (le tracé des divers cercles a été supprimé pour ne pas surcharger la figure).

b) Déterminer l'aire de ABCD.

Je calcule l'aire en triangularisant le quadrilatère

Calcul de l'aire du triangle ADC. Aire(ADC) = (AC x OD)/2 = (6 x (6/2))/2 = 9 (en cm²).
Calcul de l'aire du triangle ABC. On appelle H le pied de la hauteur du triangle ABC issue de B. Aire(ADC) = (AC x BH)/2 = (6 x 2)/2 = 6 (en cm²).
Je déduis l'aire du quadrilatère ABCD : Aire(ABCD) = Aire(ABC) + Aire(ADC) = 6 + 9 = 15 (en cm²).

c) Déterminer AD au millimètre près.

Je peux calculer l'aire du triangle ADC d'une autre façon et conclure.

Le triangle ADC est isocèle rectangle en D. Je peux donc calculer son aire en utilisant AD = DC. Aire(ADC) = (DA x DC)/2 = (DA²)/2 = 9 (en cm²). Puis, je déduis AD = √ (9 x 2) = 3 x √ 2 (en cm).

Ceci me donne immédiatement AD = 42 mm (au mm près).