Solution [Bordeaux, Clermont, Nantes, Poitiers, Ile de la Réunion (2), 1999]

    1. Reproduire sur votre copie le tableau ci-dessous et le compléter en répondant par oui ou par non. Pour la dernière ligne, on nommera un triangle autre que ceux qui figurent dans le tableau.
    Il ne semble utile de justifier les réponses. Aussi, je me contente de remplir le tableau.
.
Le triangle Est-il rectangle ? Est-il isocèle ? Est-il équilatéral ?
DJH Non Oui Non
ACG Oui Non Non
AFC Non Oui Oui
EHG Oui Oui Non
ACJ ou ... Oui Non Non
    Justifier vos affirmations concernant la nature des triangles AFC et EHG.
    Le triangle EHG est isocèle rectangle en H (car EFGH est un carré).
    Le triangle AFC est équilatéral (en effet, si a est le côté du cube, d'après le théorème de Pythagore appliqué dans les triangles AEF, ABC et ADH, j'obtiens AC = AF = CF = a x √2) donc isocèle et non rectangle.
    2.a) Sans faire de calcul, dessiner en taille réelle à l'aide de la règle et du compas le contour de la surface imprimée. On utilisera des constructions géométriques annexes (les faire figurer sur la copie). Expliquer succinctement la construction géométrique.
    Je pense à tracer les triangles ERS, EST et ERT pour construire les longueurs RS, ST et RT.

.

    Je construis un segment [R1T] qui mesure 12 cm.
    Je construis la médiatrice (d) du segment [R1T] (à l'aide de la règle non graduée et du compas) qui coupe le segment [R1T] en le point E (tel que R1E = ET = 6 cm).
    Sur la droite (d), je place les points S et R2 tels que le point E appartienne au segment [R2S], que R2E = 6 cm et que ES = 3 cm.
    Je trace le cercle C1 de centre S et de rayon [SR1] et le cercle C2 de centre T et de rayon [TR2]. Ces cercles C1 et C2 se coupent en deux points dont l'un que je nomme R.
    2.b) Calculer la dimension exacte de la longueur TR.
    Le théorème de Pythagore appliqué dans le triangle TER rectangle en E donne TR = √(62 + 62) cm = 6 x √2 cm.
    2.c) Calculer l'aire exacte en cm2 de la section obtenue.
    De la même manière, le théorème de Pythagore appliqué dans le triangle TES rectangle en E donne TS = √(62 + 32) cm = 3 x √5 cm et le théorème de Pythagore appliqué dans le triangle RES rectangle en E donne RS = √(62 + 32) cm = 3 x √5 cm.
    Soit H le pied de la hauteur du triangle TRS issue de S (et qui est aussi médiane parce que le triangle TRS est isocèle en S). Le théorème de Pythagore appliqué dans le triangle SHT rectangle en H donne SH = √(ST2 - HT2) = √(45 - 18) cm = 3 x √3 cm.
    Ainsi, Aire(RST) = (6 x √2 x 3 x √3)/2 cm2 = 9 x √6 cm2.