Solution [Créteil, Paris, Versailles, 1999]

1. Je commence par le parallélogramme.

Je choisis de considérer que O appartient à la diagonale [BD]. J'aurais pu également faire le choix de considérer que O appartenait à la diagonale [AC], mais je rejoindrais alors la deuxième construction demandée ...

Algorithme de construction ...
Je trace les droites (MN) et (ST) qui se coupent en un point que je baptise B. [Si ces droites avaient été parallèles, la construction était impossible.]
Je trace la droite (BO).
Je place un point D sur la demi-droite [BO). [Je choisis ce point D suffisamment loin de B (pour que le segment [ST] soit inclus dans le segment [BC] -voir plus loin- et pour que le segment [MN] soit inclus dans le segment [BA] -voir plus loin-). C'est toujours possible.]
Je trace la parallèle à la droite (ST) passant par D qui coupe la droite (MN) en A (voir cours pour la construction d'une parallèle à une droite passant par un point donné).
Je trace la parallèle à la droite (MN) passant par D qui coupe la droite (ST) en C (voir cours pour la construction d'une parallèle à une droite passant par un point donné).

Dans l'animation ci-dessous, la flèche du bas à gauche permet de suivre les étapes de la construction de la figure pas à pas.

Pour la construction, j'ai utilisé le fait que les côtés d'un parallélogramme sont parallèles deux à deux.

2. Je poursuis par le losange.

Je choisis de considérer que O appartient à la diagonale [AC]. Vu la position du point O, il ne semble pas possible que le point O appartienne à la diagonale [BD] ...

Algorithme de construction ...
Je trace les droites (MN) et (ST) qui se coupent en un point que je baptise B. [Si ces droites avaient été parallèles, la construction était impossible.]
Je trace la bissectrice (d)du triangle MBS relative au sommet B (voir cours pour la construction d'une bissectrice).
Je trace la perpendiculaire à la droite (d) passant par O qui coupe la droite (MN) en A et la droite (ST) en C (voir cours pour la construction d'une perpendiculaire à une droite passant par un point donné).[Ce qui rend la construction possible est le fait que les points A et C ainsi obtenus sont tels que le segment [AB] contienne le segment [MN] et que le segment [CB] contienne le segment [ST].]
Je nomme O' l'intersection des droites (d) et (AC), puis je trace le cercle de centre O' de rayon O'B qui coupe la droite (d) en deux points distincts B et D.
Je trace les droites (DA) et (DC).

Dans l'animation ci-dessous, la flèche du bas à gauche permet de suivre les étapes de la construction de la figure pas à pas.

Pour la construction, j'ai utilisé
1. le fait que la diagonale [DB] du losange est axe de symétrie orthogonale et donc la droite (DB) est bissectrice de l'angle ABC.
2. le fait que les diagonales d'un losange sont perpendiculaires.
3. le fait que les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu.