Une simulation d'épreuve de concours sous forme de QCM.
    Calculatrice interdite. Outils de géométrie exclus. Le seul document autorisé est le sujet.
    Chaque réponse demandée est signalée par un carré et par un cercle.
    Si vous voulez répondre que la proposition est vraie, vous cochez le carré.
    Si vous voulez répondre que la proposition est fausse, vous pointez le cercle.
    Vous pouvez aussi choisir de ne pas répondre.
Volet disciplinaire.
Première partie.
    Exercice 1 : Sujet composé à partir du concours d'entrée à l'IUFM [Lille, 2004].
    Soient a et b et q des entiers naturels (b est tel que b ≥ 2) liés par la relation a=b x q.
a est un multiple de b ;
a est un diviseur de b ;
Le reste de la division euclidienne de a+1 par b est 1 ;
Le quotient de la division euclidienne de a+1 par b est q+1 ;
Le reste de la division euclidienne de a-1 par b est -1 ;
Le quotient de la division euclidienne de a-1 par b est q-1.
    Exercice 2 : Sujet composé à partir de celui du CRPE [Aix Marseille, Corse, Montpellier, Nice, 1999].
    Dans une ville, lors d'une élection, trois listes sont en présence : A, B et C.
    Les résultats en nombre de voix et pourcentage des exprimés figurent dans le tableau ci-dessous dont trois cases ont été effacées.
    Reconstituer les cases manquantes.

Voix obtenues Pourcentages
LISTE A 3000  
LISTE B   37,50%
LISTE C 7000  
Il manque une donnée pour pouvoir résoudre le problème ;
La liste A a obtenu 30 % des voix ;
La liste B a obtenu 6000 voix ;
La liste C a obtenu entre 40 % et 50 % des voix ;
La deuxième colonne et la troisième colonne du tableau sont proportionnelles.
    Exercice 3
    Soit ABCD un carré. Soit ABCDS une pyramide régulière (à base carrée). Chacune des faces de cette pyramide a une aire de 900 cm2. Soit H le pied de la hauteur de la pyramide ABCDS issue de S.
La pyramide a base carrée possède 5 sommets, 8 arêtes et 5 faces ;
Le côté du carré ABCD mesure 30 x √2 cm ;
Le triangle ABS est isocèle rectangle ;
Une des hauteurs du triangle ABS mesure 60 cm ;
SH = 60 cm ;
Le volume de la pyramide ABCDS est strictement inférieur à 18 litres.
    Exercice 4 : Sujet composé à partir de celui du CRPE [Nice, 1998].
    Remplacer les a, b, c, d, e et f pour que les écritures fractionnaires désignent
Un entier naturel Un décimal non entier Un rationnel non décimal
a/30000 b/30000 c/30000
30000/d 30000/e 30000/f
a peut prendre la valeur de tout multiple de 30000 ;
b peut prendre la valeur de tout multiple de 3 ;
c peut être choisi parmi tous les nombres premiers hormis 3 ;
d peut prendre la valeur de tout diviseur de 30000 ;
e peut être choisi parmi n'importe quel nombre de la forme 3 x 2n+5 x 5m+4 où n et m sont des entiers naturels ;
f peut prendre toute valeur supérieure à 30001.
Deuxième partie : analyse de production d'élèves. Sujet composé à partir de celui du CRPE [Toulouse, 2000].
    Ci-dessous l'annexe contenant :
    le texte d'un test d'évaluation à l'entrée en sixième, portant sur des travaux géométriques ;
    les réponses données par quatre élèves d'une classe de sixième.
Annexe
    Exercice
Sur ce dessin à main levée (les vraies grandeurs sont écrites en cm), on a représenté un rectangle ABCD et un cercle de centre A qui passe par D.
Ce cercle coupe le segment [AB] au point E.
Trouve la longueur du segment [EB] ...
Explique ta réponse ...
    Les productions sont reprises avec les fautes ...
    Adrien
Trouve la longueur du segment [EB] : 1 cm 8.
Explique ta réponse : Puisque le le cercle coupe le segment et quand D le coupe sa fait le point E.
    Gaëlle
Trouve la longueur du segment [EB] : 4 cm.
Explique ta réponse : parce que la largeur est aussi grande que le segment [EB].
    Lise
Trouve la longueur du segment [EB] : 3 cm.
Explique ta réponse : si le rayons de [A] est de 4 cm et que la longueur de [AB] est 7 cm : 7 cm - 4 cm = 3 cm.
    Victor
Trouve la longueur du segment [EB] : la longueur est de 3,5 cm.
Explique ta réponse : Le cercle est situé au milieu du segment.
    Les compétences mathématiques nécessaires pour résoudre cet exercice sont
savoir tracer une figure propre,
savoir donner un algorithme de construction d'une figure complexe,
savoir identifier cercle et rectangle,
savoir prendre la mesure d'une longueur à l'aide de la règle graduée,
savoir utiliser le vocabulaire associé au cercle et au rectangle pour communiquer sa démarche,
savoir expliquer sa démarche en mettant en oeuvre un raisonnement déductif,
savoir utiliser la propriété du cercle suivante : le centre du cercle est équidistant de chacun des points du cercle,
savoir utiliser la propriété du cercle suivante : le rayon d'un cercle mesure la moitié de son diamètre,
savoir utiliser la propriété du rectangle suivante : le rectangle possède quatre angles droits,
savoir utiliser la propriété du rectangle suivante : les côtés opposés d'un rectangle sont de même mesure,
savoir utiliser l'additivité de la mesure pour des longueurs,
savoir utiliser la propriété du milieu d'un segment suivante : le milieu d'un segment partage la longueur de ce segment en deux parties égales.
    Adrien trouve EB = 1,8 cm.
Il mesure 1,8 cm sur le dessin.
Il effectue un calcul pour trouver 1,8 cm.
    Gaëlle trouve EB = 4 cm.
Elle mesure 4 cm sur le dessin.
Elle effectue un calcul pour trouver 4 cm.
Elle raisonne à partir d'une figure fausse en ayant conscience que cette figure est fausse.
    Lise trouve EB = 3 cm.
Elle mesure 3 cm sur le dessin.
Elle effectue un calcul pour trouver 3 cm.
Elle raisonne à partir d'une figure fausse en ayant conscience que cette figure est fausse.
    Victor trouve EB = 3,5 cm.
Il mesure 3,5 cm sur le dessin.
Il effectue un calcul pour trouver 3,5 cm.
Il raisonne à partir d'une figure fausse en ayant conscience que cette figure est fausse.
Volet didactique. Sujet composé à partir de celui du CRPE [Limoges, 1999].
    En fin de CM1, un maître conçoit, pour sa classe de 22 élèves, un dispositif expérimental lui permettant de travailler sur les ombres. Pour cela, il dispose d'une lampe, d'un support sur lequel il fixera des formes carrées découpées dans un carton et d'un écran sur lequel seront projetées les ombres des formes carrées.
    On supposera que :
    le dispositif est opérationnel et permet d'obtenir des ombres aux contours nets, sur lesquels il est possible d'effectuer des mesures de longueur précises au mm près ;
    les élèves ont déjà travaillé sur les ombres d'un point de vue géométrique. Ils savent, en particulier qu'il existe des positions relatives de la lampe, du carton carré et de l'écran pour lesquelles l'ombre du carré est un carré ;
    les distances, d'une part entre le lampe et le carton, d'autre part entre le carton et l'écran, sont maintenues constantes tout au long de la séance ;
    dans cette classe, les élèves recourent librement à la calculatrice.
Première partie
    La lampe est éteinte. Le maître dispose sur le support un carré de 9 cm de côté. Cette mesure est écrite au tableau. Il dit : "Lorsque j'allumerai l'ampoule vous verrez apparaître sur l'écran l'ombre de ce carré. Cette ombre sera de la forme carrée. Ecrivez sur vos cahiers la longueur que mesurera le côté de l'ombre".
    Il interroge les élèves sur leurs prévisions. Les élèves ont fait des estimations qui varient de 12 cm à 43 cm. Toutes les prévisions sont notées au tableau. Le maître invite un élève à effectuer l'expérimentation : allumage de l'ampoule, mesure du côté de l'ombre. Cet élève trouve 24 cm.
    Le maître demande : "Qui a fait la meilleure prévision ? Rangez vos prévisions de la moins bonne à la meilleure".
    1.1. Pourquoi aucun élève n'a répondu au maître qu'il était impossible de prévoir la mesure du côté de l'ombre ?
C'est une coutume didactique : d'habitude, lorsque le maître pose une question, on peut trouver une (ou la) réponse.
Ayant déjà manipulé le dispositif, les élèves peuvent donner une réponse basée sur une estimation personnelle.
Ayant déjà manipulé le dispositif, les élèves savent déjà que la situation relève de proportionnalité.
    1.2. Quelle est la notion mathématique dont le maître a le projet de se servir comme modèle mathématique permettant de prévoir les dimensions des ombres en fonction des dimensions des carrés en carton ?
La notion mathématique dont le maître a le projet de se servir comme modèle mathématique permettant de prévoir les dimensions des ombres en fonction des dimensions des carrés en carton est la proportionnalité. En effet, si d est la distance entre l'ampoule et le carton et si d' est la distance entre le carton et l'écran, alors, le côté C de l'ombre carrée est liée au côté c du carré en carton par C = c x d'/d.
La notion mathématique dont le maître a le projet de se servir comme modèle mathématique permettant de prévoir les dimensions des ombres en fonction des dimensions des carrés en carton est la proportionnalité. En effet, si d est la distance entre l'ampoule et le carton et si d' est la distance entre le carton et l'écran, alors, le côté C de l'ombre carrée est liée au côté c du carré en carton par C = c x (d + d')/d.
La notion mathématique dont le maître a le projet de se servir comme modèle mathématique permettant de prévoir les dimensions des ombres en fonction des dimensions des carrés en carton est l'homothétie. En effet, l'ombre carrée est un agrandissement du carré en carton.
La notion mathématique dont le maître a le projet de se servir comme modèle mathématique permettant de prévoir les dimensions des ombres en fonction des dimensions des carrés en carton est l'application du théorème de Thalès. En effet, le carton et l'écran sont sur des plans parallèles.
    1.3. En admettant que 24 cm soit la mesure du côté de l'ombre, comment procéder mathématiquement pour ranger les estimations des élèves de la moins bonne à la meilleure ?
Soient x1 cm, x2 cm, ..., x22 cm les propositions des élèves. Il suffit de calculer x1 - 24 cm, x2 - 24 cm, ..., x22 - 24 cm et de ranger ces valeurs dans l'ordre croissant ...
Soient x1 cm, x2 cm, ..., x22 cm les propositions des élèves. Il suffit de calculer les écarts entre x1 cm et 24 cm, entre x2 cm et 24 cm, ..., entre x22 cm et 24 cm et de ranger ces valeurs dans l'ordre croissant ...
Soient x1 cm, x2 cm, ..., x22 cm les propositions des élèves. Il suffit de calculer x1 - 24 cm, x2 - 24 cm, ..., x22 - 24 cm et de ranger ces valeurs dans l'ordre décroissant ...
Soient x1 cm, x2 cm, ..., x22 cm les propositions des élèves. Il suffit de calculer les écarts entre x1 cm et 24 cm, entre x2 cm et 24 cm, ..., entre x22 cm et 24 cm et de ranger ces valeurs dans l'ordre décroissant ...
Deuxième partie
    La lampe est éteinte. Le maître remplace sur le support, le carré de 9 cm de côté par un carré de 6 cm de côté. Cette nouvelle mesure est écrite au tableau. Le maître demande : "Et maintenant, quelle est la mesure du côté de l'ombre ? ". Toujours sans allumer la lampe, le maître demande rapidement quelques anticipations, sans leurs justifications.
    2.1. Certains élèves proposent 21 cm ; d'autres, 15 cm. Analyser ces deux réponses.
Les adeptes de la réponse 21 cm se basent sur le raisonnement suivant : si le carré en carton diminue son côté de 3 cm, il en est de même pour l'ombre.
Les adeptes de la réponse 21 cm se basent sur le raisonnement suivant : si lorsque le carré en carton a son côté qui mesure 9 cm, l'ombre mesure (15+9) cm = 24 cm, alors, lorsque le carré en carton a son côté qui mesure 6 cm, l'ombre mesure (15+6) cm = 21 cm.
Les adeptes de la réponse 21 cm ont bien intégré le fait que la situation relevait de la proportionnalité.
Les adeptes de la réponse 15 cm se basent sur le raisonnement suivant : le calcul 6+9 me donne 15 comme résultat, ce qui est plausible.
Les adeptes de la réponse 15 cm se basent sur le raisonnement suivant : le calcul 24-9 me donne 15 comme résultat, ce qui est plausible.
Les adeptes de la réponse 15 cm ont bien intégré le fait que la situation relevait de la proportionnalité.
    2.2. Le maître refuse que les élèves discutent des raisons qui ont motivé leurs anticipations. Pourquoi ?
Parce que les élèves qui ont trouvé la solution pourraient donner trop rapidement cette solution.
Parce que l'utilisation du théorème de Thalès n'est pas au programme des Ecoles.
Parce que les homothéties ne sont pas au programme des Ecoles.
    2.3. Les élèves pouvaient-ils, à ce moment de la séance, deviner juste ?
Oui, car les élèves savent déjà que la situation relève de la proportionnalité.
Oui, car si les élèves ne savent pas que la situation relève de la proportionnalité, ils pourraient le déduire.
Non, car ils ne savent pas encore qu'il s'agit d'une situation de proportionnalité et ne pourraient le déduire.
    Le maître fait effectuer par un élève la vérification expérimentale. La lampe est allumée, l'ombre mesurée. L'élève expérimentateur trouve 16 cm.
    Un seul élève avait proposé 16 cm. Le maître lui demande comment il a procédé. Il répond : "J'ai deviné. C'est le hasard si je suis tombé juste. On peut y arriver en devinant".
    2.4. Quel problème rencontrent alors les élèves ?
Les élèves qui pensaient que cette activité relevait d'une situation mathématique vont penser qu'il s'agit en fait d'un jeu de devinettes.
Les élèves qui ont eu recours à l'intuition vont être confortés dans cette idée.
    2.5. Quelle décision peut alors prendre le maître ?
Le maître donne la solution.
Le maître félicite ouvertement l'élève qui a trouvé la bonne solution.
Le maître peut inciter les élèves à renoncer aux devinettes.
Troisième partie
    La lampe est de nouveau éteinte. Le maître remplace sur le support, le carré de 6 cm de côté par un carré de 18 cm de côté. Cette nouvelle mesure est écrite au tableau. Le maître demande : "Et maintenant, quelle est la mesure du côté de l'ombre ? ". Certains élèves (la majorité) calculent ; d'autres pensent qu'on peut trouver en devinant. Une douzaine d'élèves, tous des calculateurs, propose un même résultat : 48 cm.
    3.1. Sur quelles propriétés de la notion mathématique mise en jeu, pouvaient s'appuyer les élèves pour justifier la réponse 48 cm ?
Soit C la mesure du côté de l'ombre carrée et soit c la mesure du côté du carré. Soit f la fonction telle que C = f(c). Pour justifier la réponse 48 cm, les élèves vont probablement utiliser la propriété additive de la fonction linéaire permet de résoudre le problème en considérant f(18) = f(6) + f(6) + f(6) ou f(18) = f(9) + f(9).
Soit C la mesure du côté de l'ombre carrée et soit c la mesure du côté du carré. Soit f la fonction telle que C = f(c). Pour justifier la réponse 48 cm, les élèves vont probablement utiliser la fonction linéaire permet de résoudre le problème en considérant f(18) = 3 x f(6) ou f(18) = 2 x f(9).
Soit C la mesure du côté de l'ombre carrée et soit c la mesure du côté du carré. Soit f la fonction telle que C = f(c). Pour justifier la réponse 48 cm, les élèves vont probablement utiliser le retour à l'unité car f(1) = 8/3 cm.
Soit C la mesure du côté de l'ombre carrée et soit c la mesure du côté du carré. Soit f la fonction telle que C=f(c). Pour justifier la réponse 48 cm, les élèves vont probablement utiliser le coefficient de proportionnalité qui est 8/3.
Soit C la mesure du côté de l'ombre carrée et soit c la mesure du côté du carré. Soit f la fonction telle que C = f(c). Pour justifier la réponse 48 cm, les élèves vont probablement utiliser la propriété des rapports égaux f(18)/18 = f(9)/9 = f(6)/6.
Soit C la mesure du côté de l'ombre carrée et soit c la mesure du côté du carré. Soit f la fonction telle que C = f(c). Pour justifier la réponse 48 cm, les élèves vont probablement utiliser le rapport de l'homothétie qui est de 8/3.
Soit C la mesure du côté de l'ombre carrée et soit c la mesure du côté du carré. Soit f la fonction telle que C = f(c). Pour justifier la réponse 48 cm, les élèves vont probablement utiliser le théorème de Thalès.
    Le maître fait effectuer par un élève la vérification expérimentale. La lampe est allumée, l'ombre mesurée. L'élève expérimentateur trouve 47,9 cm. Parmi les élèves qui avaient trouvé 48 cm, certains contestent la mesure tandis que d'autres s'accommodent de la différence de 1 mm. Aucun de ceux qui voulaient trouver le résultat en devinant n'est parvenu à donner une bonne anticipation.
    3.2. Comment expliquer la différence entre la mesure effectuée par l'élève et la prévision de 48 cm par certains élèves ?
Tout mesurage est lié à un minimum de précision.
La mesure de 47,9 cm est forcément fausse.
La prévision de 48 cm est forcément fausse.
    3.3. Quelle difficulté pose au maître l'écart entre le prévu et le mesuré ?
L'expérience induirait 47,9 cm =48 cm.
L'expérience désavouerait ici un raisonnement correct.
    A ce point de la séance, un élève dit au maître : "Au début, le carré de 9 cm donne une ombre de 24 cm. Je me suis dit que l'ombre d'un carré de 1 cm serait neuf fois moins grande. J'ai pris ma calculatrice et j'ai divisé 24 par 9. J'ai trouvé 2,6666666. J'ai multiplié par 18 et j'ai trouvé 47,999999".
    3.4. Analyser l'intervention de cet élève.
Au niveau de la procédure, cet élève utilise le coefficient de proportionnalité.
Au niveau de la procédure, cet élève utilise un retour à l'unité.
Au niveau de la procédure, cet élève utilise la propriété des rapports égaux.
Son raisonnement s'appuie sur une représentation correcte des relations entre les données.
Son résultat est une bonne approximation du résultat attendu.
    3.5. Indiquer deux problèmes que rencontre le maître à la suite de l'intervention de cet élève.
Une procédure correcte aboutit à un résultat jugé erroné par l'élève.
Une procédure incorrecte aboutit à un résultat qui serait une bonne approximation du résultat attendu.
Le maître est alors confronté au problème des valeurs approchées de la calculatrice, ce qui doit être vu seulement en fin de cycle 3 : en CM2.
Le maître est alors confronté au problème des valeurs approchées de la calculatrice, ce qui doit être vu seulement au collège.
    Un élève qui utilisait sa calculatrice remarque : "Sur ma calculatrice, 24 divisé par 9, cela fait 2,6666667". Un autre élève dit : "Sur ma calculatrice, j'ai tapé à la suite 24 : 9 x 18 = et j'ai trouvé 48".
    3.6. Expliquer brièvement les résultats différents donnés par les calculatrices.
Pour la remarque : "Sur ma calculatrice, 24 divisé par 9, cela fait 2,6666667", il s'agit d'une approximation décimale du résultat rationnel qui, de toutes façons, n'aurait pas pu être stocké correctement dans une calculatrice α-numérique.
Pour la remarque : "Sur ma calculatrice, j'ai tapé à la suite 24 : 9 x 18 = et j'ai trouvé 48", il est possible que sur cette même calculatrice, la suite 24 : 9 = x 18 = ne fournisse pas le même résultat que la suite 24 : 9 x 18 =, car la multiplication n'est pas une loi associative pour la calculatrice.
    3.7. Le maître demande alors à tous les élèves de ranger leurs calculatrices. Analyser cette décision.
Le maître croit qu'il est facile de multiplier par 8/3 sans la calculatrice pour tous ses élèves.
Le maître pense que tous ses élèves pourront résoudre ce problème sans l'aide de la calculatrice.
Le maître veut remplacer le raisonnement mathématique et les calculs par du mesurage expérimental.
Quatrième partie
    La lampe est de nouveau éteinte. Le maître remplace sur le support, le carré de 18 cm de côté par un carré de 15 cm de côté. Cette nouvelle mesure est écrite au tableau. Le maître demande : "Et maintenant, quelle est la mesure du côté de l'ombre ? ". Les élèves débattent de leurs méthodes.
    4.1. Caractériser une telle méthode sur le plan didactique.
C'est une situation a-problématique.
C'est une situation-problème.
C'est une situation de type "cours magistral".
C'est une situation de type "la main à la pâte".
C'est une situation a-didactique d'action.
    Au tableau figurent toutes les mesures obtenues au cours des quatre expérimentations successives.
    4.2. Le maître conduit l'inventaire des procédures proposées par les élèves. Pourquoi ?
Parce qu'une majorité d'élèves dispose de procédures de résolution, correctes ou non.
Parce que le nombre conséquent d'expériences peut permettre de déduire que la situation relève de proportionnalité.
Parce que les élèves ne peuvent plus calculer sans calculatrice.
    4.3. Donner deux cadres possibles de traitement de la notion étudiée.
Pour le calcul de l'aire d'un carré en fonction de la longueur de son côté (dans un cadre géométrique).
Pour le calcul d'une durée de parcours en fonction d'un temps de parcours à une certaine vitesse constante (dans le cadre des sciences physiques -cinématique-).
    4.4. Si le maître avait, en maintenant constante la distance entre la lampe et le carton et en conservant toujours la même forme carrée cartonnée, aurait-il aussi obtenu un tableau de proportionnalité entre la distance carton-écran d et la longueur C du côté de l'ombre carrée correspondante ? Justifier votre réponse.
Oui, parce que la fonction qui lie d et C est linéaire.
Oui, parce que la fonction qui lie d et C est affine et non linéaire.
Non, parce que la fonction qui lie d et C est affine et non linéaire.
Non, parce que la fonction qui lie d et C n'est aucunement affine.
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