Denis Vekemans
    Maître de conférences au Centre IUFM de Gravelines
    Utilisez ce lien pour me faire part de vos remarques et suggestions.
Correction.
Volet disciplinaire.
Première partie.
    Exercice 1 : Sujet composé à partir du concours d'entrée à l'IUFM [Lille, 2004].
    Soient a et b et q des entiers naturels (b est tel que b ≥ 2) liés par la relation a=b x q.
    VRAI. (0,25 si correct ; -0,5 si erroné)
    FAUX. (0,25 si correct ; -0,5 si erroné)
    VRAI : a + 1 = b x q + 1. (0,25 si correct ; -0,25 si erroné)
    FAUX : le quotient est encore q. (0,25 si correct ; -0,25 si erroné)
    FAUX : un reste est toujours positif. (0,5 si correct ; -0,5 si erroné)
    VRAI : b - 1 = (q - 1) x b + (b - 1). (0,5 si correct ; -0,5 si erroné)
    Exercice 2 : Sujet composé à partir de celui du CRPE [Aix Marseille, Corse, Montpellier, Nice, 1999].
    Dans une ville, lors d'une élection, trois listes sont en présence : A, B et C.
    Les résultats en nombre de voix et pourcentage des exprimés figurent dans le tableau ci-dessous dont trois cases ont été effacées.
    Reconstituer les cases manquantes.

Voix obtenues Pourcentages
LISTE A 3000 18,75%
LISTE B 6000 37,50%
LISTE C 7000 43,75%
    FAUX. (0,25 si correct ; -0,25 si erroné)
    FAUX. (0,5 si correct ; -0,5 si erroné)
    VRAI. (0,5 si correct ; -0,5 si erroné)
    VRAI. (0,5 si correct ; -0,5 si erroné)
    VRAI. (0,25 si correct ; -0,25 si erroné)
    Exercice 3
    Soit ABCD un carré. Soit ABCDS une pyramide régulière (à base carrée). Chacune des faces de cette pyramide a une aire de 900 cm2. Soit H le pied de la hauteur de la pyramide ABCDS issue de S.
    VRAI. (0,25 si correct ; -0,5 si erroné)
    FAUX : l'aire d'un carré de côté c est c2. (0,25 si correct ; -0,25 si erroné)
    FAUX : il est isocèle, mais pas rectangle. (0,25 si correct ; -0,25 si erroné)
    VRAI : l'aire d'un triangle de base b et de hauteur h est (b x h)/2. (0,25 si correct ; -0,25 si erroné)
    FAUX. (0,25 si correct ; -0,25 si erroné)
    VRAI : le volume d'une pyramide étant donné par (B x h)/3 où B est l'aire de la base et h la hauteur ; de ce fait, comme h < 60 cm, le volume V vérifie V < (60 x 900)/3 cm3 = 18 l. (0,25 si correct ; -0,25 si erroné)
    Exercice 4 : Sujet composé à partir de celui du CRPE [Nice, 1998].
    Remplacer les a, b, c, d, e et f pour que les écritures fractionnaires désignent
Un entier naturel Un décimal non entier Un rationnel non décimal
a/30000 b/30000 c/30000
30000/d 30000/e 30000/f
    VRAI : ce sont les seules valeurs qui conviennent. (0,25 si correct ; -0,25 si erroné)
    FAUX : la valeur b = 0 fournit la valeur 0 qui est entier. (0,5 si correct ; -0,25 si erroné)
    VRAI : le 3 en facteur au dénominateur ne pourra alors pas se simplifier avec le numérateur ; ainsi, l'écriture du dénominateur en produit de facteurs premiers, même après simplification, présentera toujours un nombre différent de 2 ou de 5 (le 3). (0,5 si correct ; -0,25 si erroné)
    VRAI : ce sont les seules valeurs qui conviennent. (0,25 si correct ; -0,25 si erroné)
    VRAI : 30000/(3 x 2n+5 x 5m+4) = 1/(2n+1 x 5m) est un nombre décimal qui n'est pas entier. (0,5 si correct ; -0,25 si erroné)
    FAUX : f = 60000 fournit la valeur 1/2 qui est décimal. (0,5 si correct ; -0,25 si erroné)
Deuxième partie : analyse de production d'élèves. Sujet composé à partir de celui du CRPE [Toulouse, 2000].
    Les compétences mathématiques nécessaires pour résoudre cet exercice sont ...
    FAUX : la figure est une donnée. (0 si correct ; -0,25 si erroné)
    FAUX : la figure est une donnée. (0 si correct ; -0,25 si erroné)
    VRAI : l'énoncé ne fait pas le lien entre le texte et la figure. (0,25 si correct ; 0 si erroné)
    FAUX : c'est n'importe quoi. (0,25 si correct ; -0,5 si erroné)
    VRAI. (0 si correct ; -0,25 si erroné)
    VRAI : il s'agit bien d'un raisonnement déductif (0 si correct ; -0,25 si erroné)
    VRAI : pour déduire AD = AE. (0,25 si correct ; -0,5 si erroné)
    FAUX : ceci n'a rien à voir avec l'énoncé. (0,25 si correct ; -0,25 si erroné)
    FAUX : ceci n'a rien à voir avec l'énoncé. (0,25 si correct ; -0,25 si erroné)
    VRAI : pour déduire AB = DC. (0,25 si correct ; -0,5 si erroné)
    VRAI : pour déduire AB = AE + EB. (0,25 si correct ; -0,5 si erroné)
    FAUX : il ne faut utiliser que des données. (0,25 si correct ; -0,25 si erroné)
    Adrien trouve EB = 1,8 cm.
    VRAI : c'est une hypothèse fort plausible. (0,25 si correct ; -0,25 si erroné)
    FAUX. (0,25 si correct ; -0,25 si erroné)
    Gaëlle trouve EB = 4 cm.
    FAUX. (0 si correct ; -0,25 si erroné)
    FAUX : il n'y a aucun calcul dans AD = BC = EB. (0,25 si correct ; -0,25 si erroné)
    FAUX : il semble sur le dessin que AD = BC = EB, mais rien dans le texte ne permet de conclure cela. (0,25 si correct ; -0,25 si erroné)
    Lise trouve EB = 3 cm.
    FAUX. (0 si correct ; -0,25 si erroné)
    VRAI : 7 - 4 = 3. (0,25 si correct ; -0,25 si erroné)
    VRAI : elle raisonne réellement sans se laisser leurrer par la figure. (0,25 si correct ; -0,25 si erroné)
    Victor trouve EB = 3,5 cm.
    FAUX. (0 si correct ; -0,25 si erroné)
    VRAI : 7/2 = 3,5 (mentalement). (0,25 si correct ; -0,25 si erroné)
    FAUX : si la figure suggère que E est milieu du segment [AB], rien dans le texte ne permet de conclure cela. (0,25 si correct ; -0,25 si erroné)
Volet didactique. Sujet composé à partir de celui du CRPE [Limoges, 1999].
    En fin de CM1, un maître conçoit, pour sa classe de 22 élèves, un dispositif expérimental lui permettant de travailler sur les ombres. Pour cela, il dispose d'une lampe, d'un support sur lequel il fixera des formes carrées découpées dans un carton et d'un écran sur lequel seront projetées les ombres des formes carrées.
    On supposera que :
    le dispositif est opérationnel et permet d'obtenir des ombres aux contours nets, sur lesquels il est possible d'effectuer des mesures de longueur précises au mm près ;
    les élèves ont déjà travaillé sur les ombres d'un point de vue géométrique. Ils savent, en particulier qu'il existe des positions relatives de la lampe, du carton carré et de l'écran pour lesquelles l'ombre du carré est un carré ;
    les distances, d'une part entre le lampe et le carton, d'autre part entre le carton et l'écran, sont maintenues constantes tout au long de la séance ;
    dans cette classe, les élèves recourent librement à la calculatrice.
Première partie
    La lampe est éteinte. Le maître dispose sur le support un carré de 9 cm de côté. Cette mesure est écrite au tableau. Il dit : "Lorsque j'allumerai l'ampoule vous verrez apparaître sur l'écran l'ombre de ce carré. Cette ombre sera de la forme carrée. Ecrivez sur vos cahiers la longueur que mesurera le côté de l'ombre".
    Il interroge les élèves sur leurs prévisions. Les élèves ont fait des estimations qui varient de 12 cm à 43 cm. Toutes les prévisions sont notées au tableau. Le maître invite un élève à effectuer l'expérimentation : allumage de l'ampoule, mesure du côté de l'ombre. Cet élève trouve 24 cm.
    Le maître demande : "Qui a fait la meilleure prévision ? Rangez vos prévisions de la moins bonne à la meilleure".
    1.1. Pourquoi aucun élève n'a répondu au maître qu'il était impossible de prévoir la mesure du côté de l'ombre ?
    VRAI. (0,25 si correct ; -0,25 si erroné)
    VRAI / FAUX : les élèves doivent probablement savoir que l'ombre sera un "agrandissement" du carré cartonné, mais ils ne donnent probablement pas au mot "agrandissement" son sens mathématique.
    FAUX. Ce n'est pas parce qu'ils connaissent la matériel qu'ils savent à quelle notion mathématique est rattachée l'expérience. Il n'est pas dit que ce matériel ait déjà été utilisé dans une situation de proportionnalité, et (voir question 4.4) ... (0,25 si correct ; -0,25 si erroné)
    1.2. Quelle est la notion mathématique dont le maître a le projet de se servir comme modèle mathématique permettant de prévoir les dimensions des ombres en fonction des dimensions des carrés en carton ?
    FAUX (au niveau de la justification). (0,125 si correct ; -0,125 si erroné)
    VRAI. (0,125 si correct ; -0,125 si erroné)
    FAUX. L'homothétie est hors du programme des Ecoles. (0,125 si correct ; -0,125 si erroné)
    FAUX. Le théorème de Thalès est hors du programme des Ecoles. (0,125 si correct ; -0,125 si erroné)
    1.3. En admettant que 24 cm soit la mesure du côté de l'ombre, comment procéder mathématiquement pour ranger les estimations des élèves de la moins bonne à la meilleure ?
    FAUX. (0 si correct ; -0,25 si erroné)
    FAUX. (0 si correct ; -0,25 si erroné)
    FAUX. (0 si correct ; -0,25 si erroné)
    VRAI. (0,25 si correct ; -0,25 si erroné)
Deuxième partie
    La lampe est éteinte. Le maître remplace sur le support, le carré de 9 cm de côté par un carré de 6 cm de côté. Cette nouvelle mesure est écrite au tableau. Le maître demande : "Et maintenant, quelle est la mesure du côté de l'ombre ? ". Toujours sans allumer la lampe, le maître demande rapidement quelques anticipations, sans leurs justifications.
    2.1. Certains élèves proposent 21 cm ; d'autres, 15 cm. Analyser ces deux réponses.
    VRAI. En tout cas, c'est fort possible. (0,125 si correct ; -0,125 si erroné)
    VRAI. En tout cas, c'est fort possible. (0,125 si correct ; -0,125 si erroné)
    FAUX. (0 si correct ; -0,125 si erroné)
    VRAI. En tout cas, c'est fort possible. (0,125 si correct ; -0,125 si erroné)
    VRAI. En tout cas, c'est fort possible. (0,125 si correct ; -0,125 si erroné)
    FAUX. (0 si correct ; -0,125 si erroné)
    2.2. Le maître refuse que les élèves discutent des raisons qui ont motivé leurs anticipations. Pourquoi ?
    VRAI. Sinon, la suite de la séance n'a plus aucun intérêt. (0,25 si correct ; -0,125 si erroné)
    FAUX. Même si la phrase est vraie, elle ne justifie en rien le choix du maître. (0,125 si correct ; -0,125 si erroné)
    FAUX. Même si la phrase est vraie, elle ne justifie en rien le choix du maître. (0,125 si correct ; -0,125 si erroné)
    2.3. Les élèves pouvaient-ils, à ce moment de la séance, deviner juste ?
    FAUX. Certainement pas car sinon la suite de la séance n'a plus aucun objet. (0,125 si correct ; -0,125 si erroné)
    FAUX. Ce n'est pas avec une seule valeur que l'on va pouvoir déduire si deux grandeurs sont proportionnelles ou non. (0,125 si correct ; -0,125 si erroné)
    VRAI. (0,25 si correct ; -0,25 si erroné)
    Le maître fait effectuer par un élève la vérification expérimentale. La lampe est allumée, l'ombre mesurée. L'élève expérimentateur trouve 16 cm.
    Un seul élève avait proposé 16 cm. Le maître lui demande comment il a procédé. Il répond : "J'ai deviné. C'est le hasard si je suis tombé juste. On peut y arriver en devinant".
    2.4. Quel problème rencontrent alors les élèves ?
    VRAI. Et c'est dommage pour la suite de la séance où le maître veut amener un raisonnement déductif. (0,25 si correct ; 0 si erroné)
    VRAI. Et c'est dommage pour la suite de la séance où le maître veut amener un raisonnement déductif. (0,25 si correct ; 0 si erroné)
    2.5. Quelle décision peut alors prendre le maître ?
    FAUX. Certainement pas. Que resterait-il alors du reste de la séance ? (0,25 si correct ; -0,5 si erroné)
    FAUX. Le but est tout de même toujours d'amener les enfants à raisonner. (0,25 si correct ; 0 si erroné)
    VRAI / FAUX. C'est une possibilité, mais cela modifie la situation a-didactique.
Troisième partie
    La lampe est de nouveau éteinte. Le maître remplace sur le support, le carré de 6 cm de côté par un carré de 18 cm de côté. Cette nouvelle mesure est écrite au tableau. Le maître demande : "Et maintenant, quelle est la mesure du côté de l'ombre ? ". Certains élèves (la majorité) calculent ; d'autres pensent qu'on peut trouver en devinant. Une douzaine d'élèves, tous des calculateurs, propose un même résultat : 48 cm.
    3.1. Sur quelles propriétés de la notion mathématique mise en jeu, pouvaient s'appuyer les élèves pour justifier la réponse 48 cm ?
    VRAI. C'est une technique qui est ici fort simple et efficace. (0,25 si correct ; -0,25 si erroné)
    VRAI. C'est une technique qui est ici fort simple et efficace. (0,25 si correct ; -0,25 si erroné)
    VRAI / FAUX. C'est possible, mais ce n'est pas évident de manipuler des fractions.
    VRAI / FAUX. C'est possible, mais ce n'est pas évident de manipuler des fractions.
    VRAI. C'est assez facile à utiliser ici. (0,25 si correct ; 0 si erroné)
    FAUX. La place des homothéties n'est pas à l'Ecole. (0 si correct ; -0,25 si erroné)
    FAUX. La place du théorème de Thalès n'est pas dans les Ecoles. (0 si correct ; -0,25 si erroné)
    Le maître fait effectuer par un élève la vérification expérimentale. La lampe est allumée, l'ombre mesurée. L'élève expérimentateur trouve 47,9 cm. Parmi les élèves qui avaient trouvé 48 cm, certains contestent la mesure tandis que d'autres s'accommodent de la différence de 1 mm. Aucun de ceux qui voulaient trouver le résultat en devinant n'est parvenu à donner une bonne anticipation.
    3.2. Comment expliquer la différence entre la mesure effectuée par l'élève et la prévision de 48 cm par certains élèves ?
    VRAI. (0,25 si correct ; -0,25 si erroné)
    FAUX. (0 si correct ; -0,125 si erroné)
    FAUX. (0 si correct ; -0,125 si erroné)
    3.3. Quelle difficulté pose au maître l'écart entre le prévu et le mesuré ?
    FAUX. La mission du maître est de faire tout de même prendre conscience aux élèves de l'imprécision des mesures et de ne pas passer cet aspect sous silence : "à peu près égal" n'est pas synonyme de "égal". (0,125 si correct ; -0,125 si erroné)
    VRAI. Ceci nuit à la clarté de la suite où le calcul devra apparaître comme un bon moyen de prédiction. (0,125 si correct ; -0,125 si erroné)
    A ce point de la séance, un élève dit au maître : "Au début, le carré de 9 cm donne une ombre de 24 cm. Je me suis dit que l'ombre d'un carré de 1 cm serait neuf fois moins grande. J'ai pris ma calculatrice et j'ai divisé 24 par 9. J'ai trouvé 2,6666666. J'ai multiplié par 18 et j'ai trouvé 47,999999".
    3.4. Analyser l'intervention de cet élève.
    FAUX. (0 si correct ; -0,125 si erroné)
    VRAI. Il s'agit clairement d'un retour à l'unité. (0,25 si correct ; -0,125 si erroné)
    FAUX. (0 si correct ; -0,125 si erroné)
    VRAI. Non seulement son raisonnement est correct, mais encore, son calcul est bien posé à la calculatrice. (0,125 si correct ; -0,125 si erroné)
    VRAI. Non seulement son raisonnement est correct, mais encore, son calcul est bien posé à la calculatrice. (0,125 si correct ; -0,125 si erroné)
    3.5. Indiquer deux problèmes que rencontre le maître à la suite de l'intervention de cet élève.
    VRAI. Et ceci fait naître un conflit cognitif chez les élèves. (0,125 si correct ; -0,125 si erroné)
    FAUX. La procédure est correcte. (0 si correct ; -0,125 si erroné)
    FAUX. L'élève ne doit être confronté au problème des valeurs approchées de la calculatrice qu'à partir du collège. (0 si correct ; -0,125 si erroné)
    VRAI. Ce problème qui n'est pas souhaité ici, n'est pas non plus à sa place à l'Ecole. (0,125 si correct ; -0,125 si erroné)
    Un élève qui utilisait sa calculatrice remarque : "Sur ma calculatrice, 24 divisé par 9, cela fait 2,6666667". Un autre élève dit : "Sur ma calculatrice, j'ai tapé à la suite 24 : 9 x 18 = et j'ai trouvé 48".
    3.6. Expliquer brièvement les résultats différents donnés par les calculatrices.
    VRAI. (0,125 si correct ; -0,125 si erroné)
    VRAI. (0,125 si correct ; -0,125 si erroné)
    3.7. Le maître demande alors à tous les élèves de ranger leurs calculatrices. Analyser cette décision.
    FAUX. Le maître est bien conscient qu'il est difficile de manipuler les fractions. (0,125 si correct ; 0 si erroné)
    VRAI. Les calculs se font facilement mentalement ou posés. (0,125 si correct ; 0 si erroné)
    FAUX. Certainement pas. Un mesurage ne remplacera jamais un calcul justifié. (0 si correct ; -0,25 si erroné)
Quatrième partie
    La lampe est de nouveau éteinte. Le maître remplace sur le support, le carré de 18 cm de côté par un carré de 15 cm de côté. Cette nouvelle mesure est écrite au tableau. Le maître demande : "Et maintenant, quelle est la mesure du côté de l'ombre ? ". Les élèves débattent de leurs méthodes.
    4.1. Caractériser une telle méthode sur le plan didactique.
    FAUX. (0 si correct ; -0,125 si erroné)
    VRAI. Conditions essentielles : l'élève doit pouvoir envisager une réponse possible au problème ; ses connaissances sont en général insuffisantes pour résoudre immédiatement le problème ; la situation-problème doit permettre à l'élève de savoir si une réponse trouvée est valable ou non ; la compétence visée doit être l'outil le plus adapté pour résoudre le problème. (0,125 si correct ; 0 si erroné)
    FAUX. (0 si correct ; -0,125 si erroné)
    FAUX. Le dispositif est posé par le maître. (0 si correct ; -0,125 si erroné)
    VRAI. (0,125 si correct ; 0 si erroné)
    Au tableau figurent toutes les mesures obtenues au cours des quatre expérimentations successives.
    4.2. Le maître conduit l'inventaire des procédures proposées par les élèves. Pourquoi ?
    VRAI. Il semble qu'il soit maintenant temps de laisser les élèves s'exprimer sur leurs procédures propres. (0 si correct ; -0,125 si erroné)
    VRAI. Quatre valeurs permettent plus facilement de conclure qu'une situation relève ou non de proportionnalité. Pour s'en assurer, il faudrait une infinité d'expériences ... (0,125 si correct ; 0 si erroné)
    FAUX. Ceci n'a rien à voir avec la question. (0,125 si correct ; 0 si erroné)
    4.3. Donner deux cadres possibles de traitement de la notion étudiée.
    FAUX. L'aire d'un carré et la mesure de son côté ne sont pas en situation de proportionnalité. (0,125 si correct ; 0 si erroné)
    VRAI. C'est une situation exemplaire de proportionnalité. (0,125 si correct ; 0 si erroné)
    4.4. Si le maître avait, en maintenant constante la distance entre la lampe et le carton et en conservant toujours la même forme carrée cartonnée, aurait-il aussi obtenu un tableau de proportionnalité entre la distance carton-écran d et la longueur C du côté de l'ombre carrée correspondante ? Justifier votre réponse.
    FAUX. (0,125 si correct ; -0,125 si erroné)
    FAUX. (0,125 si correct ; -0,125 si erroné)
    VRAI. Soit x la distance entre la lampe et le carton et c la mesure du côté du carré cartonné, le théorème de Thalès donne alors : (d+x)/x = C/c ou C = (c x d)/x + c. Non linéaire car le bon sens laisse facilement imaginer que c est non nul. (0,125 si correct ; -0,125 si erroné)
    FAUX. (0,125 si correct ; -0,125 si erroné)