Sujet zéro 1 - correction -

Exercice

D'après Caen, 1995.

A.
a. Le triangle IDJ est isocèle rectangle en D (car ID = DJ = 5 cm et car l'angle en D du triangle IDJ est celui en D du carré ABCD qui est droit).
Ainsi, par le théorème de Pythagore appliqué dans ce triangle, on obtient IJ = 5 x √2 cm.
b.
i. De même, on obtiendrait JK = IK = 5 x √2 cm. Ainsi, le triangle IJK a ses trois côtés isométriques et est équilatéral.
ii. Dans un triangle IJK, toute hauteur est aussi médiane, donc, par le théorème de Pythagore, la hauteur issue de I mesure (5 x √2 x √3)/2 cm ou encore (5 x √6)/2 cm. L'aire du triangle IJK est donc [(5 x √2) x (5 x √2 x √3)/2]/2 cm² ou encore (25 x √3)/2 cm².
c. Le volume de la pyramide IDJK, de base IDJ et de hauteur DK est [5 x (5 x 5)/2]/3 cm³ ou 125/6 cm³.

B.
a. IJLM est un carré. En effet, la question A.a. nous indique que IJ = JL = LM = MI = 5 x √2 cm. IJLM est donc un losange. AILB est un parallélogramme car il est convexe, car les droites (AI) et (BL) sont parallèles (comme côtés opposés d'un carré) et car AI = BL = 5 cm (convexité et deux côtés parallèles et égaux). Donc IL = 10 cm (car un parallélogramme a ses côtés opposés égaux). De même, JM = 10 cm. Un losange qui a deux diagonales isométriques est un carré, donc IJLM est un carré.
b.

Figure n°1	Figure n°2 : cette figure présente deux faces carrée adjacentes, il ne s'agit donc pas du patron d'un cuboctaèdre.
Figure n°3 : cette figure présente deux faces triangulaires adjacentes, il ne s'agit donc pas du patron d'un cuboctaèdre. Remarque : on pouvait aussi dire qu'elle présente neuf faces triangulaires.	Figure n°4 : cette figure présente sept faces triangulaires, il ne s'agit donc pas du patron d'un cuboctaèdre.
Figure n°5	Les figures n°1 et n°5 sont par conséquent des patrons de cuboctaèdre car l'énoncé dit que seules trois figures ne sont pas des patrons.

c. Coloriage.
Il n'y a rien à colorier en noir !
Tous les coloriages verts et rouges possibles sont réalisés sur la figure ci-dessous avec des motifs qui vont par paires.
Pour les coloriages bleus possibles, il suffit de prendre deux coloriages rouges qui n'ont pas le même motif.

Questions complémentaires

D'après Rennes, 1998.

Question 1
a) Les différents procédés utilisés pour présenter les polyèdres aux élèves sont
- la perspective cavalière (exercice 3, polyèdre C),
- le patron (découverte, exercice 2),
- le patron schématisé (exercice 1, exercice 3, polyèdre D, exercice 4),
- un texte descriptif (exercice 3, polyèdres A et B).
b) Les auteurs auraient pu utiliser
- d'autres perspectives (arêtes cachées en pointillé, perspectives avec fuyantes, ...),
- des empreintes des faces (prélude aux patrons),
- des textes constructifs (algorithme de construction),
- des objets matérialisés, ...
c) Le T désigne un triangle équilatéral et le H désigne un hexagone régulier (voir légende de l'exercice 3). Les traits joignant deux lettres signifient que les polygones désignés par ces lettres coïncident par une arête sur le patron.

Question 2
a) Les intentions pédagogiques de cette séquence sont de mettre en relation :
- les polyèdres,
- leurs patrons,
- et leurs propriétés (concernant les sommets, les arêtes et les faces).
Cependant, parmi les relations visitées dans cette séquence, les auteurs privilégient surtout la construction d'images mentales à partir de patrons de polyèdres : l'élève doit anticiper sur le polyèdre représenté (à partir du patron) afin d'en utiliser diverses propriétés.
b) Dans les IO, concernant les solides (cube, parallélépipède rectangle) au cycle 3, on trouve :
(a) percevoir un solide, en donner le nom, vérifier certaines propriétés par rapport aux faces ou arêtes d'un solide à l'aide des instruments,
(b) décrire un solide en vue de l'identifier dans un lot de solides divers ou de le faire reproduire sans équivoque,
(c) construire un cube ou un parallélépipède rectangle,
(d) reconnaître, construire ou compléter un patron de cube, de parallélépipède rectangle,
(e) utiliser à bon escient le vocabulaire suivant : cube, parallélépipède rectangle ; sommet, arête, face.
Le point (a) est abordé et l'élève est ici invité à percevoir un solide par anticipation.
Le point (b) est absent : il ne s'agit ni de décrire, ni de reproduire un polyèdre.
Le point (c) n'est pas présenté : les solides observés dans cette séquence sont bien plus (voire trop) complexes.
Le point (d) est proposé sur d'autres solides que le cube ou le parallélépipède rectangle, mais les patrons sont présents, de même que la compétence "reconnaître" ou "compléter" un patron.
Les mots "sommet", "arête" et "face" du point (e) sont proposés.

Question 3
- Le choix du polyèdre dont on propose le patron incomplet (le nombre de faces, le nombre de faces distinctes, ...) joue sur la complexité du problème (le cas du cube fait appel à des images prototypiques et non à des images mentales anticipatrices).
- La formulation de la consigne propose ici d'avoir recours au patron pour compléter le patron schématisé, ce qui semble intéressant puisque le pliage / collage permet de constater visuellement que le polygone manquant est un triangle équilatéral. Les auteurs auraient pu laisser le problème plus ouvert ..., mais la complexité en aurait été accrue.
- La présentation du polyèdre sous forme d'un patron schématisé avec une face inconnue plutôt que sous forme d'un patron inachevé ne facilite pas la tâche de l'élève.
- La place de la face inconnue dans le schéma peut avoir une influence sur la procédure : si la face inconnue avait été l'hexagone régulier (au centre et non plus en une extrémité du schéma), un simple décompte du nombre d'arêtes aurait suffi.

Question 4
- Polyèdre A Une procédure pas à pas (pentagone par pentagone) peut permettre d'obtenir le polyèdre, mais le découpage du pentagone doit être répété 12 fois (à moins d'en avoir découpé 12 simultanément dès le début) ! Le découragement risque de se faire ressentir.
Aide matérielle : " Pourquoi ne pas présenter le solide physique ? "
Aide relative à la consigne : " Pourquoi ne pas faire découper directement les 12 pentagones réguliers nécessaires ? "
- Polyèdre B La description est apparemment incomplète (et elle l'est car on peut constituer un solide avec 2 hexagones réguliers et 12 triangles équilatéraux) : n'importe quel solide comportant 14 faces sans face carrée convient a priori, puisque le nombre de face carrées n'est pas imposé. Dès lors, les manipulations ne sont pas assez guidées : un élève procédant pas à pas pourrait commencer avec pentagone régulier et verrait ses essais infructueux.
Aide matérielle : " Pourquoi ne pas présenter le solide physique ? "
Aide relative à la consigne : " Pourquoi ne pas faire découper directement les 6 carrés et 8 triangles équilatéraux nécessaires ? "
- Polyèdre C La perspective cavalière utilisée ici ne montre pas les arêtes cachées en pointillé et rend difficile la perception de ce solide. De plus, la perspective cavalière "déforme" certaines faces (les carrés ne sont pas vus comme des carrés, les hexagones réguliers ne sont plus réguliers, ...), ce qui propose encore une difficulté supplémentaire.
Aide matérielle : " Pourquoi ne pas présenter le solide physique ? "
Aide relative à la consigne : " Pourquoi ne pas compléter la perspective cavalière en pointillant ses arêtes cachées ? "
- Polyèdre D La tâche est longue car le nombre de polygones présents ici est important. L'imprécision du collage risque d'avoir ici un effet non négligeable au vu du grand nombre de faces à assembler.
Aide matérielle : " Pourquoi ne pas présenter le solide physique ? "


Une remarque commune à tout l'exercice 3 : des onglets bordant les triangles équilatéraux, les carrés, les pentagones réguliers et les hexagones réguliers faciliteraient le collage.