Sujet zéro (exercice 1)

On peut classer les entiers naturels selon la valeur de leur reste dans la division euclidienne par 26.

Ainsi :
E₀ est l’ensemble de ceux dont le reste est 0
E₁ est l’ensemble de ceux dont le reste est 1
E₂ est l’ensemble de ceux dont le reste est 2
...

1) Combien d’ensembles E_n différents obtient-on ?

Etant donné que le reste d'une division euclidienne est positif au sens large et inférieur au diviseur au sens strict, on obtient 26 ensembles E_n possibles qui sont : E₀, E₁, E₂, ..., E₂₅.

2) Prouver que si un entier x est dans l’ensemble E_n, alors x + 26 est dans le même ensemble E_n.

La division euclidienne de x par 26 donne un quotient q et un reste r. Cela s'écrit :
x = 26 x q + r
avec 0 ≤ r < 26.

Ceci donne alors
x + 26 = 26 x q + r + 26 = 26 x (q + 1) + r
avec 0 ≤ r < 26.
Ceci induit que la division euclidienne de x + 26 par 26 donne un quotient q + 1 et un reste r.

Ainsi, x et x + 26 sont deux éléments du même ensemble E_r.

3) Dans quels ensembles sont les nombres : 456 ; 261 ; 456 + 261 ; 456 x 261 ? Justifier vos réponses.

456 = 17 x 26 + 14 (c'est bien l'écriture de la division euclidienne de 456 par 26 car 0 ≤ 14 < 26). Donc, 456 est un élément de E₁₄.

261 = 10 x 26 + 1 (c'est bien l'écriture de la division euclidienne de 261 par 26 car 0 ≤ 1 < 26). Donc, 456 est un élément de E₁.

456 + 261 = 17 x 26 + 14 + 10 x 26 + 1 = 27 x 26 + 15 (c'est bien l'écriture de la division euclidienne de 456 + 261 par 26 car 0 ≤ 15 < 26). Donc, 456 + 261 est un élément de E₁₅.

456 x 261 = (17 x 26 + 14) x (10 x 26 + 1) = (17 x 10 x 26 + 14 x 10 + 17 x 1) x 26 + 14 x 1 = 4577 x 26 + 14 (c'est bien l'écriture de la division euclidienne de 456 x 261 par 26 car 0 ≤ 14 < 26). Donc, 456 x 261 est un élément de E₁₄.

4) Montrer que si un entier a est dans E₁₀ et un autre entier b est dans E₂₃, alors a + b est dans E₇ et a x b dans E₂₂.

Si a est dans E₁₀, il s'écrit a = a' x 26 + 10. De même, si b est dans E₂₃, il s'écrit b = b' x 26 + 23.

Ainsi, a + b = a' x 26 + 10 + b' x 26 + 23 = (a' + b') x 26 + (10 + 23) = (a' + b') x 26 + 26 + 7 = (a' + b' + 1) x 26 + 7 (c'est bien l'écriture de la division euclidienne de a + b par 26 car 0 ≤ 7 < 26). Donc, a + b est un élément de E₇.

Egalement, a x b = (a' x 26 + 10) x (b' x 26 + 23) = (a' x b' x 26 + a' x 23 + b' x 10) x 26 + (10 x 23) = (a' x b' x 26 + a' x 23 + b' x 10) x 26 + 8 x 26 + 22 = (a' x b' x 26 + a' x 23 + b' x 10 + 8) x 26 + 22 (c'est bien l'écriture de la division euclidienne de a x b par 26 car 0 ≤ 22 < 26). Donc, a x b est un élément de E₂₂.

5) Déterminer toutes les valeurs possibles des deux derniers chiffres a et b du nombre entier 2039ab afin que ce nombre soit dans E₁₀ et soit également divisible par 3.

On cherche les nombres compris entre 203900 au sens large et 203999 au sens large qui soient dans E₁₀. La division euclidienne de 203900 par 26 s'écrit algébriquement 203900 = 7842 x 26 + 8 (c'est bien l'écriture de la division euclidienne de a x b par 26 car 0 ≤ 8 < 26). Il s'ensuit que 203902 est dans E₁₀ (par surcomptage). Puis, d'après la question 2, 203902 + 26 = 203928, 203928 + 26 = 203954, 203954 + 26 = 203980 sont également dans E₁₀. Les nombres 203902, 203928, 203954, 203980 sont même les seuls de E₁₀ qui soient compris entre 203900 au sens large et 203999 au sens large (on a montré à la question 2 que si x donnait q comme quotient, x + 26 donnait q + 1 comme quotient dans la division euclidienne par 26, ce qui veut dire que ces deux nombres sont consécutifs dans l'ensemble E_r).

203902 est-il divisible par 3 ? Non, car la somme de ses chiffres ne l'est pas.

203928 est-il divisible par 3 ? Oui, car la somme de ses chiffres l'est.

203954 est-il divisible par 3 ? Non, car la somme de ses chiffres ne l'est pas.

203980 est-il divisible par 3 ? Non, car la somme de ses chiffres ne l'est pas.

Le nombre 203928 est donc le seul qui réponde à la question 5 (a = 2 et b = 8).

Questions complémentaires

6) Quels liens existe-t-il entre les ensembles E_n et les lignes et colonnes du tableau des nombres proposé par le maître ?

Aucun de bien évident, a priori, puisque les ensembles E_n font référence à une division euclidienne par 26 (c'est explicite) alors que le tableau du maître fait appel à une division euclidienne par 8 (8 nombres consécutifs par ligne).

Nouvelle définition des E_n (nécessaire pour répondre correctement à la question posée) ...
On peut classer les entiers naturels selon la valeur de leur reste dans la division euclidienne par 8.
Ainsi :
E₀ est l’ensemble de ceux dont le reste est 0
E₁ est l’ensemble de ceux dont le reste est 1
E₂ est l’ensemble de ceux dont le reste est 2
...

Maintenant, si on regarde le tableau du maître (tableau à 8 colonnes),
la colonne qui commence par 0 contient les éléments de E₀,
la colonne qui commence par 1 contient les éléments de E₁,
la colonne qui commence par 2 contient les éléments de E₂,
la colonne qui commence par 3 contient les éléments de E₃,
la colonne qui commence par 4 contient les éléments de E₄,
la colonne qui commence par 5 contient les éléments de E₅,
la colonne qui commence par 6 contient les éléments de E₆,
la colonne qui commence par 7 contient les éléments de E₇,
la première ligne contient les nombres qui admettent 0 comme quotient dans la division euclidienne par 8,
la deuxième ligne contient les nombres qui admettent 1 comme quotient dans la division euclidienne par 8,
la troisième ligne contient les nombres qui admettent 2 comme quotient dans la division euclidienne par 8,
...

7) Le maître construit une feuille de calcul à partir d’un tableur pour valider rapidement les réponses aux questions du type :

Dans quelle ligne et dans quelle colonne va-t-on écrire le nombre 852 ?

Donner une des procédures possibles pour réaliser rapidement la feuille proposée en annexe 2.

- Entrer dans la cellule A1, le nombre 0 ;
- Entrer dans la cellule B1, la formule "=A1+1", copier cette formule et la coller dans la plage C1:H1 ;
- Entrer dans la cellule A2, la formule "=A1+8", copier cette formule et la coller dans la plage B2:H2 ;
- Copier la plage A2:H2 et la coller dans la plage A3:Hn pour un n suffisamment grand.

Les formules étant en adressage relatif, le copier-coller fournit bien le tableau demandé.

8) Pour chaque phase de la préparation du maître, faire des hypothèses sur les procédures attendues des élèves pour répondre aux questions.

Phase 1 : pour compléter le tableau, l'élève peut utiliser la comptine numérique pour placer 12, 13, 14 et 15 en allant de gauche à droite dans le tableau, puis passer à gauche de la ligne suivante à 16 en poursuivant de gauche à droite, 17, 18, et caetera. Pour répondre à la question "Dans quelle ligne est le nombre 19 ?", il suffit à l'élève de repérer le nombre 19 et de constater qu'il se trouve à la troisième ligne. Pour répondre à la question "Dans quelle colonne est le nombre 23 ?", il suffit à l'élève de repérer le nombre 23 et de constater qu'il se trouve à la huitième colonne.

Phase 2 : continuer à compléter le tableau pour savoir dans quelle ligne et dans quelle colonne on range les nombres 62 et 70 n'aurait pas grand intérêt et ne répondrait pas aux attentes du maître qui veut essayer de prévoir ce qui se passe ... L'élève est donc invité à observer les nombres de 1 à 25 qui sont déjà placés dans le tableau pour repérer des propriétés relatives au positionnement de ces nombres dans le tableau.
1°) L'élève peut, par exemple, repérer dans la première colonne, le début de la liste des multiples de 8, s'en servir pour déduire qu'on va placer 56 dans la première colonne (à la huitième ligne), puis poursuivre de gauche à droite en plaçant 57 dans la deuxième colonne, ... jusqu'à 62 dans la septième colonne. Cet élève peut mettre en oeuvre une procédure analogue pour placer 70 dans le tableau.
2°) L'élève peut aussi faire la remarque suivante : "Quand on se déplace d'une case vers la droite du tableau, on ajoute 1 et quand on se déplace d'une case vers le bas du tableau, on ajoute 8". Il peut alors se servir de cette règle pour construire partiellement son tableau : de 25 placé en deuxième colonne et quatrième ligne, placer 33 en deuxième colonne et cinquième ligne, ... jusqu'à placer 57 en deuxième colonne et huitième ligne, puis placer 58 en troisième colonne et huitième ligne, ... jusqu'à placer 62 en septième colonne et huitième ligne. Enfin, en remarquant que 70 = 62 + 8, il peut placer 70 en septième colonne et neuvième ligne.

Phase 3 : les procédures utilisant uniquement l'addition sont rapidement mises en défaut pour placer des grands nombres dans le tableau (les procédures deviennent longues et fastidieuses). L'élève peut alors réfléchir sur une procédure utilisant les multiplications (plutôt que l'addition réitérée de 8) en menant la réflexion suivante : "Quand on se déplace d'une case vers le bas du tableau, on ajoute 8, donc quand on se déplace de 10 cases vers le bas du tableau, on ajoute 10 x 8 = 80, et même, quand on se déplace de 100 cases vers le bas du tableau, on ajoute 100 x 8 = 800, ...".
1°) La propriété précédente utilisée directement donne : "En faisant un saut vers le bas de 100 lignes depuis la case contenant le nombre 0, on arrive au nombre 800, mais on peut encore descendre pour atteindre 808, et encore pour atteindre 816, ... et encore pour atteindre 848, puis après, se déplacer vers la droite d'une colonne pour arriver à 849, d'une autre pour arriver à 850, ... puis encore une dernière pour arriver à 852. On parvient ainsi en 107^ème ligne et en cinquième colonne". L'élève a ainsi utilisé une décomposition du type 852 = 8 x 100 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 1 + 1 + 1 + 1. Remarque : il aurait également été possible de détailler ce type de procédure sur l'exemple de 784.
2°) L'élève aurait pu être plus efficace en utilisant des décompositions du type 852 = 8 x 100 + 8 x 6 + 4. Ceci donne : "En faisant un saut vers le bas de 100 lignes depuis la case contenant le nombre 0, on arrive au nombre 800, mais on peut encore faire un saut vers le bas de 6 lignes pour arriver à 848, puis après se déplacer vers la droite de quatre colonnes pour arriver à 852 ... et on parvient ainsi en 107^ème ligne et en cinquième colonne".
3°) L'élève aurait pu être encore plus efficace en utilisant directement la division euclidienne 784 = 8 x 98 + 0 ou 852 = 8 x 106 + 4. Il suffit pour cela que l'élève se demande : "Combien de fois peut-on avancer d'une case vers le bas sachant qu'à chaque fois qu'on descend, on ajoute 8 ?".

Phase 4 : réinvestissement de la phase 3 pour la question "Dans quel ligne et dans quelle colonne serait le nombre 145 ?". Quant à la question "Quel nombre écrit-on dans la 25^ème ligne et à la première colonne ?", l'élève peut se dire qu'il faut de la case contenant le nombre 0 descendre de 24 lignes, c'est-à-dire ajouter 8 x 24 = 192 pour trouver ainsi le nombre 192.

Remarques :
Les procédures des élèves sont ici construites sur un aspect dynamique de la situation (on voyage dans le tableau), mais on pouvait aussi voir le problème selon un aspect statique en considérant que pour placer n nombres dans le tableau (ou le nombre n lui-même), il faut avoir rempli un maximum de lignes qui contiennent chacune 8 nombres avant de compléter la ligne suivante et le nombre de lignes achevées est alors donné par le quotient de la division euclidienne de n par 8 (division quotition).
Il n'est probablement pas nécessaire pour l'élève de constater que les nombres disposés dans une même colonne ont même reste dans la division euclidienne par 8 ou que ceux disposés dans une même ligne ont même quotient dans la division euclidienne par 8. La division euclidienne vient ici comme procédure experte et l'élève donne du sens à la division euclidienne en regard avec le tableau du maître : "Si 852 = 8 x 106 + 4, pour placer le nombre 852, je descends de 106 lignes et je me déplace vers la gauche de 4 cases depuis la cellule située en première ligne et première colonne et je parviens à la 107^ème ligne et cinquième colonne".

9) Quelle est la solution attendue par l’enseignant en fin de la phase 3 ?

Les solutions des questions proposées en fin de phase 3 sont données dans la question précédente.

10) Quelle est la fonction du choix des nombres dans chacune des phases ?

Phase 1 : des nombres supérieurs à 12 au sens large mais pas trop élevés (≤ 25) pour que l'élève comprenne comment on construit le tableau et que la construction permet d'obtenir aisément la réponse aux questions posées (phase d'appropriation du problème).

Phase 2 : des nombres supérieurs à 26 au sens large mais qui ne soient pas encore placés dans le tableau ni trop élevés (≤ 60) afin que les procédures basées sur l'addition soient performantes (phase de recherche : on construit des procédures primitives de résolution).

Phase 3 : des nombres suffisamment élevés (≥ 100) que pour mettre en défaut les procédures basées uniquement sur l'addition afin de faire jaillir des procédures basées sur la multiplication ou mieux encore sur la division euclidienne (nouvelle phase de recherche : on déconstruit les procédures primitives pour mieux asseoir les procédures expertes).

Phase 4 : toujours des nombres supérieurs à 100 au sens large (phase de réinvestissement de la phase 3).

11) A l’aide d’une calculatrice, un élève peut valider les réponses concernant la place des nombres 784 et 852 dans le tableau. Proposer deux procédures différentes qu’il pourrait utiliser.

L'élève peut effectuer à la calculatrice la division euclidienne de ce nombre par 8. pour obtenir directement quotient et reste.
Remarque : toutes les calculatrices ne possèdent pas de touche spécifique pour la division euclidienne.

L'élève peut aussi utiliser la calculatrice pour trouver quotient et reste de la division euclidienne par tâtonnement :
8 x 72 = 576
576 + 8 x 16 = 704
704 + 8 x 6 = 752
752 + 8 x 2 = 768
768 + 8 = 776
776 + 8 = 784.
Donc 784 = (72 + 16 + 6 + 2 + 1 + 1) x 8 = 98 x 8.
Ou encore
8 x 100 = 800
800 + 8 x 7 = 856 (c'est trop)
800 + 8 x 6 = 848
848 + 4 = 852.
Donc 852 = (100 + 6) x 8 + 4 = 106 x 8 + 4.

Le quotient augmenté de un donne le numéro de la ligne, le reste augmenté de un donne le numéro de la colonne.