Sujet zéro (exercice 10)

    Définition d'un carré magique
    Un carré magique 3 x 3 est rempli avec les nombres de 1 à 9 utilisés une seule fois de telle manière que la somme des 3 nombres écrits sur chacune des trois lignes, des trois colonnes et des deux diagonales soit chaque fois la même.
    1) Compléter chaque case de la grille ci-dessous pour obtenir un carré magique (à recopier sur la copie).
     
  5  
     
    Il est donné ci-dessous un carré magique, sans justification de construction car celle-ci est l'objet des questions à venir.
8 1 6
3 5 7
4 9 2
    2) Dans le carré magique 3 x 3, justifiez le fait que la somme des nombres de chaque ligne soit toujours égale à 15 et que la somme des nombres de chaque colonne soit toujours égale à 15. On utilisera les notations proposées dans le tableau ci-dessous.
a b c
d e f
g h i
    On appelle N la somme des éléments disposés sur une ligne (qui est aussi la somme des éléments disposés sur une colonne ou sur une diagonale). On a alors a + b + c = N (ligne), d + e + f = N (ligne) et g + h + i = N (ligne), donc (a + b + c) + (d + e + f) + (g + h + i) = 3 x N. Il s'ensuit, comme a + b + c + d + e + f + g + h + i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45, que 3 x N = 45 ou encore N = 15.
    3) En additionnant les nombres de la ligne centrale avec ceux de la colonne centrale et ceux des deux diagonales, déduire que la case centrale est toujours occupé par le nombre 5. On utilisera les notations proposées dans le tableau ci-dessous.
a b c
d e f
g h i
    Dans cette question, on utilise sans cesse la conclusion de la question 2.
    On a d + e + f = 15 (ligne centrale), b + e + h = 15 (colonne centrale), a + e + i = 15 (diagonale), g + e + c = 15 (diagonale), donc (d + e + f) + (b + e + h) + (a + e + i) + (g + e + c)= 4 x 15. Il s'ensuit que (a + b + c + d + e + f + g + h + i) + 3 x e = 4 x 15, puis, comme a + b + c + d + e + f + g + h + i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45, on obtient 3 x e = 15 ou encore e = 5.
    4) Montrer que a + i = 10. Énoncer les trois autres égalités du même type.
    On a a + e + i = 15 (diagonale), et comme e = 5 d'après la question 3, on a directement a + i = 10. De même, on aurait b + h = 10, c + g = 10 et d + f = 10.
    5) En vous aidant des propriétés énoncées dans les questions 3 et 4, proposer quatre autres carrés magiques.
    Les huit carrés magiques possibles sont les suivants. Le fait qu'il n'existe que huit carrés magiques 3 x 3 est détaillé à la question 6.
8 1 6
3 5 7
4 9 2
8 3 4
1 5 9
6 7 2
6 1 8
7 5 3
2 9 4
4 3 8
9 5 1
2 7 6
2 9 4
7 5 3
6 1 8
2 7 6
9 5 1
4 3 8
4 9 2
3 5 7
8 1 6
6 7 2
1 5 9
8 3 4
    6) Quelle(s) transformation(s) géométrique(s) du plan peut-on utiliser pour trouver tous les carrés magiques à partir d’un seul ?
    L'expression "tous les carrés magiques" induit qu'il faut montrer qu'il n'existe que huit carrés magiques 3 x 3. Les huit carrés magiques définis dans la question précédente sont les seuls possibles en plaçant le "8" dans un coin.
    A partir d'un "8" placé dans un coin, on ne peut construire que deux carrés magiques 3 x 3. En effet, le "5" étant placé au centre du carré, une fois le "8" placé dans un coin, le "2" s'impose dans le coin opposé. Puis, ni le "7", ni le "9" ne peuvent se trouver sur la même ligne ou sur la même colonne que le "8", car sinon, la somme des éléments de cette ligne ou de cette colonne excèderait 15. Ainsi, les "7" et "9" n'ont que deux places possibles et chacun des deux choix définit une solution (ces solutions sont symétriques l'une de l'autre par rapport à la diagonale comportant le "8") : le "3" s'oppose au "7" sur la colonne ou la ligne de ce "7" ; le "1" s'oppose au "9" sur la colonne ou la ligne de ce "9" ; le "4" se place sur la même ligne ou colonne que le "8" et le "3" ; et, le "6" se place sur la même ligne ou colonne que le "8" et le "1".
    En plaçant le "8" ailleurs que dans un coin, il n'est pas possible de construire un carré magique 3 x 3. Le "5" étant placé au centre du carré, une fois le "8" placé ailleurs que dans un coin, le "2" s'impose sur la même ligne ou colonne que le "8" et le "5". Il reste alors à déterminer deux autres cases adjacentes au "8", qui sont soit "1 et "6", soit "3" et "4" (car les éléments placés sur la ligne ou colonne comportant le "8" mais pas le "5" doivent avoir une somme égale à 15, comme 15 = 8 + 1 + 6 (= 8 + 2 + 5) = 8 + 3 + 4).
    Les huit carrés magiques se déduisent à partir d'un particulier en utilisant les isométries du carré. Il suffit maintenant de le constater !
    Rappel : les huit isométries du carré sont :
    Questions complémentaires
    7) On peut envisager trois objectifs différents pour un enseignant mettant en oeuvre cette séquence : (annexe1)
    - Proposer à ses élèves un problème de recherche ;
    - Renforcer chez ses élèves différentes significations en lien avec la soustraction ;
    - Entraîner ses élèves au calcul.
    Discuter la pertinence de l'utilisation de la calculatrice selon l’objectif prioritaire de l’enseignant qui propose cette séquence.
    Cette séance est présentée à des élèves de cycle 3. Les calculs additifs ne présentent donc aucune difficulté pour les élèves. Mais alors, en quoi la calculatrice peut-elle être utile ? Ce doit être pour calculer
    - la somme des nombres 1, 2, ... 9 à diviser par 3 pour la recherche A ;
    - la somme des nombres 1, 2, ... 16 à diviser par 4 pour la recherche C ;
    - ou encore des soustractions du type 34 - 13 - 10 - 7, ... pour la recherche C.
    En tout cas, si l'objectif est de proposer un problème de recherche aux élèves (pour les recherches A et C), l'usage de la calculatrice est louable car il permet aux élèves de se dégager partiellement de la partie calculatoire pour se concentrer réellement sur la résolution du problème.
    Si l'objectif est de renforcer chez ses élèves différentes significations en lien avec la soustraction (pour la recherche C), l'usage de la calculatrice semble assez inintéressant :
    - le sens "enlever" : sur la diagonale, je dois avoir une somme égale à 34, mais j'ai déjà 13, 10 et 7, donc le nombre absent doit être 34 - 13 - 10 - 7 = 4 (calculs successifs : 34 - 13 = 21 ; 21 - 10 = 11 ; 11 - 7 = 4). Le sens "enlever" est celui qui est attaché à l'usage du signe "-" de la calculatrice.
    - le sens "pour aller à" :
    - le sens "écart" : sur la première ligne, je cherche l'écart entre 1 + 14 + 4 = 19, et 34, cet écart est le même qu'entre 19 - 9 = 10 et 34 - 9 = 25, c'est-à-dire 15 : une dizaine et cinq unités. Avec la calculatrice, l'élève n'est pas invité à construire une procédure de calcul et n'a pas besoin de porter sa réflexion sur le sens "écart" de la soustraction.
    En conclusion, les divers sens de la soustraction sont bien mieux mis en valeur sans la calculatrice.
    Si l'objectif est d'entraîner ses élèves au calcul, la calculatrice ne peut être d'aucune aide si on entend par "entraîner au calcul" : "entraîner au calcul mental".
    8) Analyser la phase collective de la recherche A proposée aux élèves :
    a) Qu'est-ce que ce moment apporte dans la séance ?
    Pour l'élève qui n'aurait pas de solution ("juste"), la phase collective lui en apporte une (et même deux).
    Pour l'élève qui aurait trouvé une solution ("juste"), la phase collective lui permet de constater qu'il n'existe pas une seule solution à ce problème, ce qui va peut-être le motiver à en chercher encore d'autres.
    D'autre part, au niveau de la procédure de construction d'un carré magique 3 x 3, l'élève va comprendre (même si ce n'est pas démontré avec les élèves) :
    - qu'il faut placer le 5 en le centre du carré ;
    - que 1, 9 et 5 ; 2, 8 et 5 ; 3, 7 et 5 ; et 4, 6 et 5 sont alignés.
    Ceci va aider les élèves dans la recherche d'autres carrés magiques.
    b) L’enseignant choisit de ne proposer que des "bonnes solutions" ; il aurait pu à ce stade choisir de présenter aux élèves des carrés magiques et d’autres non magiques, pour les faire étudier et valider par la classe. Qu’apporterait cette nouvelle modalité pour la phase collective ?
    Cette nouvelle modalité comporte un retour sur la définition d'un carré magique. Ceci permettrait de voir que pour obtenir un carré magique, il est nécessaire de prendre en compte toutes les conditions :
    - un élève qui aurait proposé le carré
8 1 6
4 9 2
3 5 7
    peut avoir oublié de prendre en compte la nécessité d'avoir également la même somme sur les diagonales, ...
    Entre autres, ceci permet à un élève qui n'a pas trouvé de solution ("juste") de ne pas continuer à chercher pourquoi sa solution n'est pas "juste" et de poursuivre la séance sans retard.
    9) Déterminer la (ou les) difficulté(s) supplémentaire(s) que va rencontrer l'élève dans la recherche C par rapport à la recherche A. Que pourrait-on proposer pour faciliter la tâche des élèves dans cette recherche C ?
    i. Un carré magique 4 x 4 n'est pas défini. Est-ce à l'élève de prolonger la définition d'un carré magique 3 x 3 ? On pourrait donner la définition d'un carré 4 x 4 : il est rempli avec les nombres de 1 à 16 utilisés une seule fois de telle manière que la somme des 4 nombres écrits sur chacune des quatre lignes, des quatre colonnes et des deux diagonales soit chaque fois la même.
    ii. Dans la recherche C, les calculs sont plus complexes (les soustractions sont longues et nombreuses). On pourrait proposer aux élèves d'utiliser la calculatrice (voir question 7).
    NB : on pourrait aussi prévoir d'autres aides :
    donner la somme 34 commune aux lignes, colonnes, diagonales ; ou proposer une question auxiliaire qui permettrait de le déduire ... ;
    organiser chronologiquement la tâche des élèves ... ;
    ...
    Une chronologie possible :
En utilisant la première colonne et l'une des diagonales.
En utilisant la première ligne.
La dernière ligne présente 13 et 16, pour aller à 34, il manque donc 5, qui ne peut être que 2 + 3 car le 1 est déjà utilisé. Donc, 2 et 3 sont sur la dernière ligne.
1 15 14 4
12   7  
8 10 10  
13 2 3 16
Utilisation de la troisième colonne. Premier essai non concluant car le 10 est présent à deux reprises.
1 15 14 4
12 6 7 9
8 10 11 5
13 3 2 16
Utilisation de la troisième colonne. Deuxième essai concluant.
En utilisant la deuxième colonne et la troisième ligne.
En utilisant la deuxième ligne.