Sujet zéro (exercice 2)

    Soit ABCD un rectangle. On note F le milieu du segment [CD], E le milieu du segment [AD] et G l’intersection des droites (EC) et (FB).
    1) Faire un dessin à main levée.
    2) Exprimer l’aire du triangle DEC en fonction de l’aire du rectangle ABCD. Justifier votre réponse.
    Aire(ABCD) = AD x DC (formule de calcul d'aire d'un rectangle).
    Aire(DEC) = (DE x DC)/2 (formule de calcul d'aire d'un triangle rectangle). Puis, Aire(DEC) = (AD/2 x DC)/2 (car E est milieu du segment [AD]), et enfin, Aire(DEC) = (AD x DC)/4 = Aire(ABCD)/4.
    3) Justifier que l’aire du quadrilatère EDFG est égale à celle du triangle BCG.
    Aire(BCF) = (BC x CF)/2 (formule de calcul d'aire d'un triangle rectangle). Puis, Aire(BCF) = (AD x DC/2)/2 (car BC = AD puisque ABCD est un rectangle et car F est milieu du segment [CD]), et enfin, Aire(DEC) = (AD x DC)/4 = Aire(ABCD)/4.
    Ainsi, Aire(BCF) = Aire(DEC). Mais, en décomposant ces deux triangles, on a : Aire(BCF) = Aire(BCG) + Aire(CGF) et Aire(DEC) = Aire(DEGF) + Aire(CGF). Il s'ensuit que Aire(BCG) + Aire(CGF) = Aire(DEGF) + Aire(CGF), puis Aire(BCG) = Aire(DEGF).
    4) Donner la réponse à chacun des exercices 1 et 2.
    Exercice 1
    Quel est le périmètre de la figure ?
    Réponse : 14 cm
    Exercice 2
    Quelle est l’aire de la surface coloriée en gris ?
    Réponse : 8,5 cm2
    Explique comment tu as fait pour trouver la réponse.
    Je me suis aidé du schéma suivant pour compter les petits carreaux ...
   
   
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 1 2 13 14 15 16
17 3 4 18 19 20
21 5       6 22 23
24 25 26 27 28 29 30 31
31 petits carreaux entiers
6 moitiés de petits carreaux
Soit un équivalent de 31 + 6/2 = 34 petits carreaux entiers
soit encore 34/4 = 8,5 cm2
    Questions complémentaires
    5) Dans quel cycle de l’enseignement ces exercices peuvent-ils être proposés ? Justifiez.
    Cycle 3. C'est dans le programme de cycle 3 qu'on peut trouver "Mesurer l’aire d’une surface par un pavage effectif à l’aide d’une surface de référence (d’aire une unité) ou grâce à l’utilisation d’un réseau quadrillé (le résultat étant une mesure exacte ou un encadrement)". L'aire ne fait pas partie des grandeurs à travailler dans le programme du cycle 2.
    6) Quelles erreurs, liées aux grandeurs en jeu dans ces deux exercices, peut-on prévoir ? Citez-en au moins trois.
    Pour le périmètre.
    i. Erreur liée à l'unité de mesure : deux carreaux pour 1 cm (exemple : omission de diviser par 2 ; périmètre de 28 cm) ;
    ii. Erreur liée au comptage des paires de petits carreaux (exemple : oubli d'un petit carreau ; périmètre de 13,5 cm) ;
    iii. Erreur liée à la confusion entre les notions d'aire et de périmètre (exemple : la figure a même périmètre qu'un rectangle de 3 cm de large et 4 cm de long, ce qui est correct, et la formule qui donne le périmètre d'un rectangle est L x l, ce qui est faux, donc le périmètre est 12 cm).
    Pour l'aire.
    i. Erreur liée à l'unité de mesure : quatre carreaux pour 1 cm2 (exemple : omission de diviser par 4 ; aire de 34 cm2) ;
    ii. Erreur liée au comptage des groupes de quatre petits carreaux (exemple : oubli d'un petit carreau ; aire de 8,25 cm2) ;
    iii. Erreur liée au caractère décimal du résultat attendu (exemple : aire de 8 cm2 en délaissant la partie décimale) ;
    iv. Erreur liée à la confusion entre les notions d'aire et de périmètre (exemple : l'aire grisée peut être calculée comme différence entre l'aire du polygone plein extérieur et de celle du polygone plein intérieur, ce qui est correct, le polygone extérieur a même aire qu'un rectangle de 3 cm de large et 4 cm de long, ce qui est faux, l'aire grisée vaut donc douze centimètres carrés, ce qui est faux, diminués de deux, ce qui est correct, et vaut ainsi dix centimètres carrés, ce qui est évidemment encore faux).
    7. a) Décrire les procédures utilisées par Marina et Raoul.
    Ces deux élèves trouvent la même réponse mais également utilisent la même procédure : ils comptent les groupes de deux petits carreaux inclus dans le polygone dont il faut calculer le périmètre. Cette procédure où l'on pave l'intérieur d'un polygone est généralement utilisée pour un calcul d'aire !
    7. b) Quelle peut être la signification des nombres 7 et 9 dans le calcul de Mathilde ?
    Après avoir remarqué que le polygone a même périmètre qu'un rectangle de 3 cm de large et 4 cm de long, ce qui est correct, cet élève a sans doute compté 7 petits carreaux de large (erreur de un : peut-être l'élève a-t-il compté les noeuds du quadrillage au lieu des carreaux) et 9 petits carreaux de long (encore erreur de un : peut-être l'élève a-t-il compté les noeuds du quadrillage au lieu des carreaux) et les a multiplié. Cette procédure où l'on multiplie les mesures des côtés d'un rectangle entre elles relève d'un calcul d'aire à l'aide d'une formule.
    7. c) Quelle est l'erreur commune aux trois élèves ?
    Ces trois élèves confondent les notions d'aire et de périmètre.
    8. a) Décrire les procédures utilisées par Julie et Anaïs.
    Ces deux élèves utilisent la même procédure : ils dénombrent les petits carreaux grisés, et comptent pour un ceux qui sont à moitié grisés, ce qui est faux.
    Pour Anaïs, c'est exactement ceci qui est fait : elle trouve 37 petits carreaux.
    Pour Julie, il y a de plus un groupement de ces petits carreaux par 4, mais elle omet un dernier petit carreau (soit directement dans le comptage, soit comme équivalent à 0,25 cm2).
    8. b) Analysez l’erreur d’Alexandre et donnez-en une origine possible.
    Cet élève pave la partie grisée avec des grands carreaux. Il parvient à placer exactement quatre grands carreaux et déduit que l'aire est de 4 cm2. Il omet de traiter la partie grisée non pavée. Il devrait encore acquérir des procédures de découpage/recollage. Mais il pourrait aussi accepter de paver par des moitiés de petits carreaux (changer d'unité), puis utiliser un rapport de proportionnalité (un grand carreau équivaut à huit moitiés de petits carreaux).
    8. c) A ce même exercice, quelques élèves ont répondu "8,2". Expliquez l’origine possible de ce résultat.
    Il n'est pas rare chez les élèves de ne pas écrire huit et demi correctement et d'écrire "8," puis "2" en rapport avec le terme demi ("deux" et "demi" sont des termes qui ont la même racine étymologique). Cependant, il est fort possible qu'ici le 8 devant la virgule désigne le nombre de grands carreaux équivalents et le 2 après la virgule désigne le nombre de petits carreaux équivalents restant.