Sujet zéro (exercice 3)

    1) Peut-on trouver trois nombres entiers naturels consécutifs dont la somme est 105 ? 210 ? 77 ? 144 ? 326 ? Justifiez vos réponses.
    Si on nomme n - 1, n et n + 1 les trois entiers naturels consécutifs, la somme de ces trois entiers est 3 x n (n est entier naturel supérieur ou égal à 1, d'après l'énoncé). Ceci induit qu'une somme de trois entiers naturels consécutifs est forcément multiple de 3.
    Ainsi, 77 et 326 ne peuvent être sommes de trois entiers consécutifs.
    D'autre part, 105/3 = 35, ce qui induit que 105 = 34 + 35 + 36 ; 210/3 = 70, ce qui induit que 210 = 69 + 70 + 71 ; 144/3 = 48, ce qui induit que 144 = 47 + 48 + 49.
    2) Quels sont tous les entiers naturels qui peuvent être la somme de trois entiers consécutifs ? Justifiez votre réponse.
    Il a été établi qu'une somme de trois entiers naturels consécutifs est forcément multiple de 3.
    On peut aussi montrer que si un entier naturel est multiple de 3, il est somme de trois entiers consécutifs : en effet, un multiple de 3 s'écrit 3 x n (n est entier naturel) et 3 x n = (n - 1) + n + (n + 1) et donc tout multiple de 3 est somme de trois entiers consécutifs.
    Remarque : même 0 est somme de trois entiers consécutifs : 0 = (- 1) + 0 + 1 bien que - 1 ne soit pas un entier naturel. Dans la première question, il est dit que les trois entiers consécutifs doivent être naturels, mais ce n'est plus le cas dans la deuxième question.
    3) Quelles peuvent être les valeurs possibles du nombre a (avec 0 ≤ a ≤ 9) pour que le nombre 34a7 soit la somme de trois entiers naturels consécutifs ?
    Lors de la première question, il a été vu que 34a7 doit être multiple de 3 pour être somme de trois entiers naturels consécutifs. Cependant, un nombre est multiple de 3 si et seulement si la somme de ses chiffres l'est également. Ainsi, 34a7 est multiple de 3 si et seulement si 3 + 4 + a + 7 = a + 14 est multiple de 3, c'est-à-dire pour a = 1, a = 4, et a = 7. Ainsi, 3417 = 1138 + 1139 + 1140, 3447 = 1148 + 1149 + 1150 et 3477 = 1158 + 1159 + 1160 sont somme de trois entiers consécutifs, et, d'après la deuxième question, ce sont les seuls de la forme 34a7.
    4) Le nombre 21924 est le produit de trois entiers consécutifs que l’on souhaite déterminer.
    a) Décomposer ce nombre en produit de facteurs premiers, puis en déduire les trois entiers cherchés.
    21924/2 = 10962 ; 10962/2 = 5481 ; 5481/3 = 1827 ; 1827/3 = 609 ; 609/3 = 203 ; 203/7 = 29.
    Donc, 21924 = 22 x 33 x 7 x 29.
    Puis, 21924 = 27 x 28 x 29 (27 = 33 et 28 = 22 x 7).
    b) A l’aide de votre calculatrice, trouver ces trois nombres par une autre méthode que vous décrirez précisément.
    A l'aide de la calculatrice, on peut effectuer une méthode par tâtonnement :
Nombre choisi Suivant Sur-suivant Produit des trois Commentaire
20 21 22 9240 Trop petit
32 33 34 35904 Trop grand
26 27 28 19656 Trop petit
27 28 29 21924 Exact
    Questions complémentaires
    5) Un maître a demandé à ses élèves de cycle 3 d'écrire trois nombres entiers qui se suivent. Tous les élèves ont répondu correctement à cette question. Le maître leur a ensuite posé l'exercice suivant :
    Je pense à trois nombres qui se suivent. Lorsque je les additionne cela fait 42, quels sont ces nombres ?
    a) Décrire les procédures utilisées par ces élèves.
    b) Repérer et analyser les erreurs en faisant des hypothèses sur leur origine.
    Elève A.
    Il effectue la division (euclidienne ou exacte) à l'aide de l'algorithme d'Euclide (maîtrisé) pour déduire que 42 = 14 + 14 + 14 puis ajuste cette décomposition additive de 42 pour répondre à la question posée et écrire 42 comme somme de trois entiers naturels consécutifs : il ôte 1 du premier 14 qu'il compense par un ajout de 1 au troisième 14 et obtient 42 = 13 + 14 + 15.
    Cet élève ne commet aucune erreur.
    Elève B.
    Il procède par tâtonnement en utilisant plusieurs groupes de trois entiers naturels consécutifs. Ses recherches ne sont pas toujours correctement orientées (il obtient comme somme 57 et au lieu de diminuer ses nombres, il les augmente pour obtenir 60, ...) mais il parvient cependant au résultat escompté en un temps raisonnable.
    Cet élève ne commet aucune erreur.
    Elève C.
    Il effectue la division (euclidienne ou exacte) de 42 par 3 (correctement) pour déduire que 42 = 14 + 14 + 14 (ce qu'il n'écrit pas) puis ajuste cette décomposition additive de 42 pour écrire 42 comme somme de trois entiers naturels en progression arithmétique (ce n'était pas l'objectif de l'exercice) : il ajoute 2 au premier 14 qu'il compense en ôtant 2 au troisième 14 et obtient 42 = 16 + 14 + 12, ce qui est correct, mais ne répond pas à la question posée puisque 12, 14 et 16 ne sont pas des entiers naturels consécutifs.
    Cet élève qui ne fournit pas un groupe de trois nombres entiers naturels consécutifs n'a sans doute pas pris l'hypothèse "consécutifs" en compte (bien que ce soit souligné dans l'énoncé) ou alors fait la confusion entre "consécutifs" et "en progression arithmétique".
    Elève D.
    Il procède par tâtonnement à partir d'un groupe de trois entiers naturels consécutifs : 15, 16 et 17. Il fait d'autres essais à partir de groupes de trois entiers consécutifs, mais perd peu à peu le fil directeur et, pour ajuster le résultat de sa somme à 42, finit par ne plus considérer trois entiers naturels consécutifs. Il obtient une décomposition correcte de 42 comme somme de trois entiers naturels 10, 13 et 19, mais ces trois entiers naturels ne sont pas consécutifs.
    Cet élève qui ne fournit pas un groupe de trois nombres entiers naturels consécutifs a sans doute, vu le nombre d'hypothèses à traiter, perdu de vue (bien que ce soit souligné dans l'énoncé) cette hypothèse.
    Elève E.
    Bien que cet élève ait dans un premier temps compris ce que sont trois entiers naturels consécutifs, il se contente ici de fournir une décomposition de 42 comme somme de trois entiers naturels : 42 = 20 + 11 + 11. Si son calcul est posé en colonne ici, rien ne permet de conclure sur la méthode utilisée pour obtenir cette décomposition additive : peut-être une addition à trou.
    Cet élève qui ne fournit pas un groupe de trois nombres entiers naturels consécutifs n'a sans doute pas pris l'hypothèse "consécutifs" en compte (bien que ce soit souligné dans l'énoncé).
    Elève F.
    Cet élève, qui utilise encore au cycle 3 des représentations cardinales du nombre 42, écrit 42 comme somme de deux entiers naturels, en disposant ses 42 objets en deux groupes : 42 = 10 + 32.
    Cet élève qui ne fournit pas un groupe de trois nombres entiers n'a même pas tenu compte de l'hypothèse "trois nombres".
    6) Le maître propose la même consigne pour d’autres nombres comme : 60, 72, 96. Parmi les procédures utilisées par les six élèves, quelle est celle qu’il souhaite vraisemblablement valoriser ? Justifiez.
    Sans doute celle de l'élève A, qui est rapide et efficace. Mais la procédure de l'élève B a tout de même l'avantage d'être plus sûre (pas de division) bien que plus longue.
    7) Quel peut être l’objectif du maître lorsqu’il propose la même consigne mais avec le nombre 77 ?
    L'objectif pourrait être de montrer que certains nombres ne peuvent s'écrire comme somme de trois entiers naturels consécutifs. Pour la procédure de l'élève A, ceci concorderait avec le fait que la division de 77 par 3 fournit un reste non nul. Pour la procédure de l'élève B, 24 + 25 + 26 = 75 et 25 + 26 + 27 = 78 et 77 semble par conséquent difficile à obtenir.
    8) Le maître permet ensuite aux élèves d’utiliser leur calculatrice pour résoudre le problème.
    a) Proposez trois nouveaux nombres que pourrait alors donner le maître. Justifiez votre choix.
    Il pourrait proposer des multiples de 3 possédant 4 chiffres comme : 9627, 8712 ou 8376.
    b) Décrire une procédure qu’un élève utilisant la calculatrice pourrait mettre en oeuvre.
    Sur l'exemple de 8376 ...
    L'élève peut réutiliser la procédure de l'élève A pour effectuer rapidement la division par 3, puis achever comme l'élève A : "la calculatrice fournit 8376/3 = 2792 donc 8376 = 2792 + 2792 + 2792 = 2791 + 2792 + 2793".
    L'élève peut également réutiliser la procédure de l'élève B pour le tâtonnement : 2000 + 2001 + 2002 = 6003, 2500 + 2501 + 2502 = 7503, 2800 + 2801 + 2802 = 8403, 2700 + 2701 + 2702 = 8103, 2750 + 2751 + 2752 = 8253, 2775 + 2776 + 2777 = 8328, 2790 + 2791 + 2792 = 8373, 2791 + 2792 + 2793 = 8376.