Sujet zéro (exercice 4)

    1) a) En partant de 17584 et en comptant de 23 en 23, peut-on atteindre le nombre 17692 ? Justifiez votre réponse.
    17584 + 23 = 17607 ; 17607 + 23 = 17630 ; 17630 + 23 = 17653 ; 17653 + 23 = 17676 ; 17676 + 23 = 17699 ; ...
    L'algorithme proposé n'a pas permis d'atteindre le nombre 17692 et ne le permettra jamais car les nombres visités par l'algorithme non écrits sont plus grands que 17699 et sont, par conséquent, trop grands.
    1) b) En partant de 2197 et en comptant de 23 en 23, peut-on atteindre le nombre 31600 ? Justifiez votre réponse.
    Les nombres visités par cet algorithme sont de la forme 2197 + k x 23 où k est entier naturel (un ajout itéré de 23 s'est traduit par un ajout d'un certain nombre de fois 23). Peut-on avoir 2197 + k x 23 = 31600. Si oui, alors 31600 - 2197 = k x 23, ou encore 29403 est multiple de 23. En posant la division euclidienne de 29403 par 23, on trouve un quotient égal à 1278 et un reste égal à 9. Par conséquent, le reste étant non nul, 29403 n'est pas multiple de 23 et en partant de 2197 en comptant de 23 en 23, on ne peut pas atteindre le nombre 31600.
    1) c) En partant de 0 et en comptant de 23 en 23, peut-on atteindre le nombre 5727 ? Justifiez votre réponse.
    Les nombres visités par cet algorithme sont les multiples de 23 (par construction). La question qui se pose alors est de savoir si 5727 est un multiple de 23. En posant la division euclidienne de 5727 par 23, on trouve un quotient égal à 249 et un reste nul. Par conséquent, le reste étant nul, 5727 est multiple de 23 et en partant de 0 en comptant de 23 en 23, on peut atteindre le nombre 5727.
    2) D’une façon générale, si a et b sont deux entiers naturels donnés (a ≤ b), indiquez un procédé général et rapide permettant de prévoir s’il est possible d’atteindre b à partir de a en comptant de 23 en 23.
    Soit RDE(b - a, 23) le reste dans la division euclidienne de b - a par 23. Si RDE(b - a, 23) est nul, alors on peut atteindre b à partir de a en comptant de 23 en 23, et si RDE(b - a, 23) est non nul, alors on ne peut pas atteindre b à partir de a en comptant de 23 en 23. Le procédé à proposer serait donc de calculer RDE(b - a, 23) puis de conclure en conséquence.
    3) Quel est le plus petit entier naturel à partir duquel, en comptant de 23 en 23, on peut atteindre 31600 ? Justifiez votre réponse.
    Soit r le nombre cherché. On cherche donc le plus petit entier naturel r possible tel que r + k x 23 = 31600, ce qui est le cas lorsque r est le reste dans la division euclidienne de 31600 par 23. En posant la division euclidienne de 31600 par 23, on trouve : r = 21.
    Questions complémentaires
    4) Un enseignant de CM2 a donné à chacun de ses élèves l’un des trois exercices suivants :
    a) On compte de 23 en 23 : en partant de 17584, est-il possible d’atteindre le nombre 17692 ?
    b) On compte de 23 en 23 : en partant de 2197, est-il possible d’atteindre le nombre 31600 ?
    c) On compte de 23 en 23 : en partant de 0, est-il possible d’atteindre le nombre 5727 ?
    Il a constaté que les procédures utilisées par les élèves ayant obtenu rapidement des réponses correctes étaient significativement différentes selon l’exercice traité. Expliquez pourquoi ces différences étaient prévisibles.
    Par ordre croissant de difficulté ...
    Pour le a), l'écart entre 17584 et 17692 est relativement petit : il est possible pour l'élève de fonder une procédure basée uniquement sur l'addition itérée de 23 (voir question 1.a).
    Pour le c), l'écart est trop élevé pour encore procéder par addition itérée de 23. L'élève doit affiner sa procédure initiale ...
    a) au lieu d'additionner 23, puis 23, puis 23..., il peut additionner un certain nombre de fois 23, par exemple 10 fois ou 100 fois (il est facile de travailler multiplicativement avec les 10 ou les 100 : règle des zéros généralisée ou non), puis encore ... : on parle alors de sauts successifs ;
    b) en additionnant 23, puis 23, puis 23..., il peut remarquer qu'il tombe uniquement sur des multiples de 23 (même si la table des 23 n'est pas requise au cycle 3, les élèves ayant une approche intelligente des tables multiplicatives (utilisation des propriétés de la table de Pythagore pour la construire) peuvent repérer une technique permettant de construire cette table) et rechercher si 5727 est multiple de 23 en utilisant la division euclidienne.
    Pour le b), l'écart est encore trop élevé pour procéder par addition itérée de 23. L'élève doit affiner sa procédure initiale ...
    a) au lieu d'additionner 23, puis 23, puis 23..., il peut additionner un certain nombre de fois 23, par exemple 10 fois, 100 fois ou 1000 fois (il est facile de travailler multiplicativement avec les 10, les 100 ou les 1000 : règle des zéros généralisée ou non), puis encore ... : on parle alors de sauts successifs ;
    b) en additionnant 23, puis 23, puis 23..., il faut déjà avoir une bonne maîtrise de la division euclidienne pour savoir que ce problème en dépend : il ne semble pas complètement naturel de s'intéresser à l'écart entre la valeur initiale et la valeur finale (ou les valeurs atteintes par l'application de l'algorithme) ; et encore, une fois cette difficulté dépassée, l'élève poursuivant comme pour le c) en effectuant la division euclidienne de 29403 par 23 verrait encore surgir une nouvelle difficulté au niveau du calcul puisque les programmes demandent de rester dans le cadre de dividende de moins de quatre chiffres au sens large, ce qui n'est pas le cas ici.
    5) Le document suivant est adapté du manuel "Maths CE2", Collection Thévenet, Bordas, 2004, p.132.
    a) Quels sont les éléments mathématiques communs entre cet exercice et ceux de la question précédente ?
    La situation mathématique est la même : on donne un point de départ, on considère un pas algorithmique et on questionne sur l'éventualité de tel ou tel point d'arrivée.
    La notion mathématique sous-jacente est la même : la division euclidienne.
    b) Quelle est la variable essentielle qui permet de donner cet exercice à des élèves dès le CE2 ?
    Dans le programme de cycle 3, on trouve la compétence suivante :
    "Produire des suites orales et écrites de 1 en 1, 10 en 10, 100 en 100, à partir de n’importe quel nombre".
    La production de suites de nombres (écrits en chiffres) de 10 en 10, 100 en 100, ... doit être mise en relation avec les effets d’ajouts successifs de 10 (ou d’une dizaine), de 100 (ou d’une centaine) ... A partir de ces activités, les élèves peuvent commencer à envisager le caractère infini de ces suites. Il s’agit de mettre en évidence les régularités des suites de nombres écrits en chiffres (en liaison, par exemple, avec le fonctionnement d’un compteur) ainsi que les régularités et les accidents des suites de nombres dits oralement.
    De ce fait, les exercices proposés à Maud et à Cyril font partie intégrante du programme de cycle 3. Pour l'exercice proposé à Magali, il ne s'éloigne pas trop des programmes puisque ajouter 5 puis encore 5 revient à ajouter 10, comme pour Cyril.
    c) Proposez, pour chaque problème posé aux personnages du livre (Maud, Cyril et Magali) une procédure autre que celle qui correspond à la consigne et qui permettrait à des élèves de CE2 de déterminer dans chaque cas, de façon rapide, l’étiquette "arrivée".
    Le pas a dans cet exercice un lien privilégié avec la base 10 : les pas sont tous de la forme 2α x 5β (100 = 22 x 52 ; 10 = 2 x 5 ; et 5). De ce fait, les nombres visités par les différents algorithmes ont des formes bien particulière :