Sujet zéro (exercice 5)

    1) Répondre aux questions a) et b) posées ci-dessus, en justifiant vos réponses.
    a) Dans quelles proportions les dimensions de la photo A ont-elles augmenté pour obtenir les agrandissements B et C ?
    Le taux d'agrandissement est de 1,5 pour B et de 2,5 pour C. Ceci signifie qu'en multipliant longueur (respectivement largeur) de la photo A par 1,5, on trouve longueur (respectivement largeur) de la photo B et qu'en multipliant longueur (respectivement largeur) de la photo A par 2,5, on trouve longueur (respectivement largeur) de la photo C.
    b) Quelle serait la longueur d’une photo, qui agrandie aurait une largeur de 60 cm ?
    La largeur de cette photo est double de la largeur de la photo B, il en est alors de même pour la longueur (composition de proportionnalité : les dimensions de cette photo sont proportionnelles à celles de la photo A qui sont proportionnelles à celles de la photo B, donc les dimensions de cette photo sont proportionnelles à celles de la photo B). La longueur de cette photo serait par conséquent de 90 cm.
    2) Quelle serait la largeur d’une photo agrandie qui aurait 147 cm de long ? Justifier votre réponse.
    Il suffit de remplir le tableau de proportionnalité suivant pour trouver 98 comme largeur de cette nouvelle photo (par exemple en utilisant la règle de 3 : 98 = 147 x 20/30).
  Photo A Nouvelle photo
Largeur 20 98
Longueur 30 147
    3) Si l’on s’impose que le périmètre de l’agrandissement de la photo A ne dépasse pas 3,20 mètres, quelles sont les dimensions maximales de cet agrandissement ? Justifiez votre réponse.
    Si on appelle x la largeur de la nouvelle photo, sachant que cette nouvelle photo est agrandie depuis la photo A, on déduit que la longueur de cette nouvelle photo est x x 30/20 = 1,5 x x.
    Le périmètre de cette nouvelle photo doit être inférieur ou égal à 3,20 mètres, ce qui revient à dire que 2 x (x + 1,5 x x) ≤ 3,2 m ou encore que 5 x x ≤ 3,2 m, soit x ≤ 0,64 m. En traduisant cela, les dimensions maximales de cette nouvelle photo sont 0,64 m pour la largeur et 1,5 x 0,64 m = 0,96 m pour la longueur.
    4) Si l’on s’impose que l’aire de l’agrandissement de la photo A ne dépasse pas 1,16 m2, quelles sont les dimensions maximales de cet agrandissement ? Justifiez votre réponse.
    Si on appelle y la largeur de la nouvelle photo, sachant que cette nouvelle photo est agrandie depuis la photo A, on déduit que la longueur de cette nouvelle photo est y x 30/20 = 1,5 x y.
    L'aire de cette nouvelle photo doit être inférieure ou égal à 1,16 m2, ce qui revient à dire que y x (1,5 x y) ≤ 1,16 m2 ou encore que y2 ≤ 2,32/3 m2, soit y ≤ √(2,32/3) m. En traduisant cela, les dimensions maximales de cette nouvelle photo sont √(2,32/3) m pour la largeur et 1,5 x √(2,32/3) m = √(5,22/3) m pour la longueur.
    Questions complémentaires
    Voici un exercice extrait du manuel "Nouvel Objectif Calcul", CM1, Ed Hatier, 1995.
    L’annexe 1 présente les productions de trois élèves qui ont résolu les questions a) et b) de l’exercice du manuel.
    5)Les élèves interprètent à leur façon les termes de la question a). Pour chaque élève, décrire succinctement l’interprétation donnée à cette question.
    Elise regarde les couples de valeurs comme un début de suite logique, à la manière des tests de Q.I. :
    20 -- ["+" 10] --> 30 -- ["+" 20 i.e. "+" 2 x 10] --> 50 -- ["+" 40 i.e. "+" 2 x 20] --> ...
    30 -- ["+" 15] --> 45 -- ["+" 30 i.e. "+" 2 x 15] --> 75 -- ["+" 60 i.e. "+" 2 x 30] --> ...
    La question concernant la proportion n'a donc pas du tout été comprise.
    Antoine parle d'une augmentation brute des dimensions, sans parler de proportion : il calcule l'augmentation par différence entre l'état d'"avant" et l'état d'"après" mais pose les soustractions en ligne à l'envers (c'est juste un problème d'écriture) : le nombre soustrait est supérieur au nombre duquel on soustrait.
    Jérémy parle d'une augmentation brute également, sans parler de proportion, mais l'augmentation dont il parle porte uniquement sur l'aire et non sur longueur et largeur. Il est vrai que l'agrandissement porte sur deux dimensions données (longueur et largeur) et que si l'élève n'a pas compris que la situation relevait de la multiplication, l'élève ne peut accepter l'addition puisque la largeur et la largeur ne sont pas augmentées d'une même longueur ; il est donc tentant (pour l'élève qui veut traiter son problème par addition) de se ramener à une seule grandeur (usuellement périmètre ou aire) sur laquelle l'élève peut effectivement parler d'augmentation.
    6) Caractériser, en énonçant les propriétés mathématiques sous-jacentes, les procédures utilisées par les élèves pour répondre au b).
    Elise utilise le fait que les dimensions de la nouvelle photo doivent être proportionnelles à celle de la photo B. Le coefficient de proportionnalité est 2 ("il faut doubler ...") et est correctement utilisé.
    Antoine utilise exactement la même procédure qu'Elise, à ceci près qu'il utilise avec abus le signe "x". Une rédaction avec des couples de valeurs aurait été tout à fait correcte, (30, 45) x 2 = (30 x 2, 45 x 2) = (60, 90), mais c'est l'énoncé lui même qui suggérait la notation multiplicative pour les différents couples de valeurs.
    Jérémy utilise une procédure correcte assez complexe. En effet, l'énoncé parle directement de proportion entre les dimensions des photos A, B, C et la nouvelle. Il s'agit donc ici de proportionnalité composée. Mais, de ces multiples situations de proportionnalité en naît une autre : longueur et largeur des différentes photos sont proportionnelles. Et, pour cette nouvelle relation de proportionnalité, Jérémy utilise la proportionnalité des écarts : si au regard de deux photos, la largeur a été augmentée de 10 cm pendant que la longueur était augmentée de 15 cm, alors si deux autres photos diffèrent de 10 cm pour la largeur, elles diffèrent aussi de 15 cm pour la longueur.