Sujet zéro (exercice 6)

    1) A l’aide de dessins à main levée, proposer au moins trois patrons d’un cube, différents de ceux donnés dans les annexes 2 et 3.
    Voici les onze patrons du cube :
       
A       B       C       D      
       
      G  
E       F            
   
H   I   J   K  
                     
         
    Dans l'exercice 1, on trouve le E.
    Dans l'exercice 2, on trouve le E pour B, le G pour C, le K pour D, le A pour E et le D pour G (A et F ne sont pas des patrons du cube).
    Dans l'exercice 3, on trouve le A.
    Dans l'exercice 4, on trouve le I pour a et le A pour e (b, c et d ne sont pas des patrons de cube).
    B, C, F ,H et J sont donc les patrons qui ne sont pas présentés dans les annexes.
    2) On considère un cube ABCDEFGH d’arête a.
    a) Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier la réponse.
    Le quadrilatère ABCD est un carré (car les faces du cube sont toutes carrées). ABC est donc un triangle isocèle rectangle en B (l'angle en B est droit car les angles d'un carré sont droits et AB = BC car les côtés du carré sont isométriques).
    b) Calculer AC en fonction de a.
    L'utilisation du théorème de Pythagore dans le triangle ABC isocèle rectangle en B donne AC = a x √2.
    c) Sur l’annexe 1, le segment [AC] est déjà tracé. Construire à la règle non graduée et au compas le triangle ABC.
    Etapes de la construction :
    3)
    a) A partir du tracé du triangle ABC précédemment effectué, construire un patron de la pyramide FABC (on laissera les traits de construction apparents).
    Un aperçu sur les propriétés des faces de ce tétraèdre ...
    ABC est un triangle isocèle rectangle en B ;
    de même, ABF est un triangle isocèle rectangle en B ;
    et, BCF est un triangle isocèle rectangle en B ;
    puis, ACF est un triangle équilatéral (car tous ses côtés mesurent a x √2).
    Il n'est pas demandé d'expliquer la construction.
    b) Calculer le volume de cette pyramide en fonction de a.
    On rappelle la formule donnant le volume d’une pyramide :
    le volume de la pyramide est l'aire de la base multipliée par la hauteur relative à cette base puis divisée par 3.
    Si on considère comme base le triangle ABC, la hauteur correspondante est bien [BF] car (BF) ⊥ (ABC).
    Ainsi, Volume(ABCF) = (Aire(ABC) x BF)/3 = (a2/2 x a)/3 = a3/6.
    4) On donne la valeur de l’arête du cube : a = 6 cm.
    a) Calculer le volume de la pyramide FABC.
    Volume(ABCF) = a3/6 = 36 cm3.
    b) Sachant que cette pyramide est une maquette à l’échelle 1 / 200 d’un objet industriel, quel est, en m3, le volume exact de cet objet ? Justifier la réponse.
    Un taux d'agrandissement agit au simple sur des longueurs de segments, au carré sur des aires de surfaces planes et au cube sur des volumes.
    Ainsi, Volume(objet industriel) = 2003 x 36 cm3 = 288000000 cm3 = 288 m3.
    5) Parmi les assemblages proposés dans l’exercice 4 de l’annexe 3, déterminer ceux qui ne sont pas des patrons d’un cube et justifier votre réponse (on pourra utiliser un codage pour faciliter les explications).
    Pour les assemblages qui correspondent à des patrons, on se référera à la question 1).
    L'assemblage b présente deux faces qui vont "se superposer".
    L'assemblage c présente une face de trop donc deux faces qui vont "se superposer".
    L'assemblage d présente quatre faces disposées en carré qui ne peuvent pas "se plier".
    Questions complémentaires
    6) Comparer les exercices 2 et 4 de l’annexe 3 au niveau :
    Au niveau de la présentation ...
    Les assemblages proposés dans l'exercice 2 sont de taille plus petite que ceux de l'exercice 4 et sont par conséquent plus difficile à manipuler tels quels.
    Le nombre d'assemblages proposés dans l'exercice 2 est plus important que dans l'exercice 4, ce qui permet à l'élève d'observer une plus grande variété de patrons du cube, mais qui rend la tâche un peu plus longue.
    Les assemblages de l'exercice 4 sont accompagnés d'un cube représenté en perspective cavalière, ce qui rend peut-être l'aspect plus attrayant, mais qui peut permettre aussi de favoriser l'association mentale de la perspective cavalière du cube et de quelques uns de ses patrons.
    Les arêtes selon lesquelles on plie et selon lesquelles on découpe sont distinguées dans l'exercice 2 respectivement par des traits pointillés ou des traits pleins, ce qui facilite la compréhension de la figure.
    Proposition. Je proposerais les assemblages A, B, C, D, E, F, G et c, au format des assemblages de l'exercice 4 (mais avec les traits pointillés et les traits pleins), accompagnés d'un cube représenté en perspective cavalière.
    Au niveau de la consigne ...
    Dans l'exercice 2, il n'est pas dit combien d'assemblages sont des patrons et, de ce fait, les élèves doivent réfléchir sur chacun des assemblages : s'il est facile de voir quand un assemblage ne correspond pas à un patron de cube, comme pour le A sur lequel apparaît que deux faces vont "se superposer", il est beaucoup plus difficile de conclure qu'un assemblage est un patron de cube sans vérification concrète (uniquement par manipulation d'images mentales), comme pour le C ou le D qui correspondent à des patrons de cube qui sont peu visités dans les manuels scolaires. Dans l'exercice 4, il suffit donc d'invalider les assemblages b, c et d pour conclure que a et e sont des patrons de cube : même si le a n'est pas un patron du cube souvent proposé dans les manuels scolaires, l'élève n'a pas à se poser la question de le valider.
    Suite de la proposition. Je proposerais la consigne suivante : "Entoure trois assemblages qui sont des patrons de cube. Barre trois assemblages qui ne sont pas des patrons de cube".
    Au niveau de la vérification ...
    Il est évident que le but de ce genre d'exercice est de construire chez l'élève des images mentales anticipatrices et il faut donc que la phase de vérification ne vienne qu'assez longtemps après une réelle phase de recherche. Ainsi, il est à regretter qu'une vérification soit proposée directement dans l'exercice 2 (et non par le maître en remédiation ou par l'élève qui en ressent le besoin) et sans que l'élève ait à choisir pour quels assemblages il est utile de vérifier (la vérification proposée dans l'exercice 2 est trop systématique : pour chaque figure).
    Suite de la proposition. Je proposerais de ne pas écrire de consigne portant sur la vérification.
    7) Suite à la mise en place dans une classe de la "1ère phase" décrite dans le livre du maître (annexe 2), proposer une progression pour l’utilisation des exercices 1 à 4 des annexes 2 et 3. Justifier votre choix.
    Je proposerais tout d'abord l'exercice modifié (voir question 6)) comme application directe de ce qui a été travaillé en phase 1.
    Ensuite, je proposerais l'exercice 3 (en ôtant la phase de vérification imposée dans l'énoncé pour ne proposer cette phase que si l'élève n'a pas répondu correctement à l'exercice) qui permet d'anticiper sur les faces qui seront opposées après constitution du cube .
    Et, enfin, je proposerais l'exercice 1 qui permet de prolonger le travail exécuté dans l'exercice 3 en s'intéressant aux faces adjacentes et non plus aux faces opposées. Cependant, le motif "rayures" pose problème et l'élève peut répondre à la question posée simplement en comptant les rayures : "la face rayée du patron a 8 rayures, la perspective A a 5 rayures et la perspective C a 7 rayures, c'est donc la perspective B qui est la bonne" ; ceci n'étant probablement pas l'objectif, j'en proposerais un analogue en utilisant des faces unies et colorées sans motif. De plus, les différents motifs conduisent à d'autres problèmes de transformation de figures : les cercles sont vus comme des ellipses en perspective cavalière, ... et il semble difficile d'approcher cela avec les élèves des Ecoles.