Sujet zéro (exercice 7)

Soit C un cercle de centre O et de rayon 4 cm. [MN] est un diamètre de C.

La médiatrice du segment [MO] coupe le cercle C en P et R.

1) Construire la figure à la règle graduée et au compas en laissant les traits de construction apparents.

Etapes de la construction :
je trace une droite sur laquelle je place M, O et N dans cet ordre tels que MO = ON = 4 cm ;
je trace le cercle C de centre O passant par M ;
je trace un cercle C₁ de centre O de rayon r (avec r > OM/2) puis un autre C₂ de centre M et de même rayon r ;
les cercles C₁ et C₂ se coupent en deux points V et W équidistants de O et de M qui définissent donc la médiatrice du segment [OM] ;
je définis alors P et R comme points de concours entre le cercle C et la droite (VW).

2) Démontrez que les points P et R sont symétriques par rapport à la droite (MN).

On appelle s la symétrie orthogonale par rapport à la droite (MN).

On nomme Δ la médiatrice du segment [OM].

M, O et N étant sur la droite (MN) (invariante par s), on a s(M) = M, s(N) = N et s(O) = O.

De plus, l'image d'un cercle de centre O par s est un cercle de centre s(O) et de même rayon. Ainsi, s(C) = C.

Et, une droite perpendiculaire à l'axe d'une symétrie orthogonale étant invariante, on a s(Δ) = Δ.

De s(C) = C et de s(Δ) = Δ on déduit que s(C ∩ Δ) = C ∩ Δ ou s({P, R}) = {P, R} puis, comme ni P ni R ne sont sur l'axe de symétrie (i.e. ni P ni R ne sont invariants), on a : s(P) = R et s(R) = P. P et R sont donc symétriques orthogonalement par rapport à la droite (MN).

3) Quelle est la nature du quadrilatère MPOR ? Justifiez votre réponse.

Il s'agit d'un losange. On peut le montrer en utilisant la caractérisation par les diagonales (les diagonales d'un losange sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu ; et réciproquement, un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu est un losange) :
les diagonales sont perpendiculaire (car (PR) est médiatrice de [OM] et car un segment et sa médiatrice sont perpendiculaires) ;
si on appelle T le point d'intersection des diagonales on a OT = TM (car (PR) est médiatrice de [OM] et car les points de la médiatrices d'un segment sont équidistants de ses extrémités) et PT = TR (car, d'après la question précédente, P et R sont symétriques orthogonalement par rapport à la droite (MN)).

4) Quelle est la nature du triangle MPN ? Justifiez votre réponse.

Le triangle MPN est rectangle en P car l'angle inscrit dans C, , intercepte un diamètre, à savoir [MN].

5) Quelle est l’aire du quadrilatère MPNR ? Justifiez.

Le quadrilatère MPNR peut être considéré comme assemblage des triangles MPT, PNT, NRT et RMT qui sont tous quatre rectangles en T (puisque les diagonales de ce quadrilatère sont perpendiculaires). Il s'ensuit que Aire(MPNR) = Aire(MPT) + Aire(PNT) + Aire(NRT) + Aire(RMT) = (MT x PT)/2 + (PT x NT)/2 + (NT x RT)/2 + (RT x MT)/2 = ((MT + NT) x PT)/2 + ((NT + MT) x RT)/2 = (MN x PT)/2 + (MN x RT)/2 = (MN x (PT + RT))/2 = (MN x PR)/2 .

Il reste à calculer PR. Par le théorème de Pythagore appliqué dans le triangle OTP rectangle en T, on déduit PT = √(OP² - OT²) = √12 cm = 2 x √3 cm. Puis, PR = PT + TR = 2 x PT (car PT = TR d'après la question 3) et PR = 4 x √3 cm.

Maintenant, Aire(MPNR) = (MN x PR)/2 = 16 x √3 cm.

6) Écrire un programme de construction permettant d’obtenir cette figure à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique : on utilisera exclusivement la liste des instructions de programmation fournie en annexe 2.

Créer un point.
Nommer le point O (en cliquant sur le dernier point).
Construire un cercle de centre O et de rayon de longueur 4 cm.
Construire un point M sur le cercle.
Construire une droite passant par le point O et par le point M.
Construire l'intersection de la droite et du cercle.
Nommer le point N (en cliquant sur le point distinct de M de la dernière intersection).
Construire un cercle de centre M et passant par le point O.
Construire l'intersection des deux cercles.
Nommer le point P (en cliquant sur l'un des points de la dernière intersection).
Nommer le point R (en cliquant sur l'autre point de la dernière intersection).

Justification de la construction : les points baptisés a posteriori P et R sont équidistants de O et de M (il appartiennent donc à la médiatrice du segment [OM]) et appartiennent à C ; il est donc justifié de les baptiser P et R.

Questions complémentaires

1)

a) Répondre aux questions posées aux élèves en justifiant votre réponse.

Dans les fiches 23 et 25, il n'est pas spécifié où doit se placer le point O sur le segment [OA] (i.e. au milieu de ce segment), ce qui peut être repéré par mesurage.

Dans la fiche 25, il n'est pas spécifié non plus que la droite (DE) doit être perpendiculaire à la droite (AB), ce qui est codé sur la figure donnée.

La fiche 24 est donc la bonne.

La fiche 23 peut donner lieu à la figure suivante (à l'échelle 2 : 1) :

La fiche 25 peut donner lieu à la figure suivante (à l'échelle 2 : 1) :

b) Quelles sont les connaissances mathématiques nécessaires pour réaliser cette tâche ?

On laisse les problèmes de compréhension du vocabulaire géométrique de côté, car il est évident que pour comprendre un texte, l'élève doit en comprendre le vocabulaire.
Point 1. L'élève doit savoir que pour définir un cercle, il suffit, par exemple, d'en donner centre et rayon. Il doit aussi pouvoir repérer que pour le cercle tracé, le centre est O et doit pouvoir vérifier par mesurage que son rayon est de 24 mm.
Point 2. L'élève doit pouvoir repérer que pour le cercle tracé, [AB] en est un diamètre simplement en invoquant la définition du terme "diamètre".
Point 3. L'élève doit pouvoir vérifier par mesurage que le point C n'est pas un point quelconque du segment [OA], mais son milieu. Remarque : la notation d'un segment "entre crochets" ne fait pas partie des exigences de l'école.
Point 4. L'élève doit savoir qu'une droite est complètement définie si on dit qu'elle est perpendiculaire à une autre en spécifiant un point par lequel elle passe. Il doit aussi pouvoir interpréter le codage pour la perpendicularité. Remarque : la notation d'un segment "entre crochets" ne fait pas partie des exigences de l'école et le codage de la perpendicularité non plus.
Point 5. L'élève doit pouvoir authentifier les points D et E comme points d'intersections entre une droite et un cercle.
Point 6. L'élève doit savoir qu'on peut définir un quadrilatère en listant ses sommets et constater que ce quadrilatère est effectivement tracé.
¤ Pour les points 3 et 4, l'élève doit être capable de choisir la syntaxe correcte parmi les différentes propositions.

2)

a) Dans l’exercice, le rayon du cercle est donné et la figure est reproduite à taille réelle : si l’on supprimait ces deux données, cela modifierait-il la résolution du problème ? Justifier.

La résolution de ce problème ne serait pas modifiée car le problème porte essentiellement sur un choix pour les points 3 et 4 :
pour le point 3, le milieu est conservé par un agrandissement/réduction de figure et il suffit encore à l'élève de vérifier par mesurage que AC = CO ;
pour le point 4, l'orthogonalité est conservée par un agrandissement/réduction de figure et il suffit encore à l'élève d'utiliser le codage ou de vérifier que les deux droites en question "forment" un angle droit.

b) De même, la présence du codage de l’angle droit en C a-t-il une influence sur les procédures des élèves ? Justifier.

Oui, le codage a une influence :
avec le codage, il suffit d'utiliser celui-ci et de lui faire confiance ;
sans le codage, l'élève doit utiliser l'équerre à bon escient pour constater l'orthogonalité.

3) A quel cycle proposeriez-vous cette activité ? Justifier.

Certaines compétences requises dans cet exercice ne sont pas du ressort du cycle 2, comme par exemple simplement "vérifier qu'un point est milieu d'un segment". Mais, ce n'est pas tant que certaines compétences ne font pas partie du programme du cycle 2 que la multitude et la variété des compétences mises en jeu qui fait que cet exercice serait proposé en cycle 3 et probablement même en fin de cycle 3 (fin de CM1, début de CM2).

4) Un maître demande à ses élèves de construire la figure de l’exercice en utilisant un logiciel de géométrie dynamique. Plusieurs élèves obtiennent alors une figure superposable à celle de la page du manuel.

a) Quels moyens l’enseignant peut-il utiliser pour vérifier la validité des procédures mises en oeuvre par ces élèves ?

Si l'objectif est d'obtenir une figure correcte, les procédures qui fournissent une figure correcte n'ont pas besoin d'être validées.

Si l'objectif est d'utiliser la fiche 24 avec le logiciel de géométrie dynamique, valider la figure ne suffit plus et il faut aller regarder comment l'élève a construit sa figure :
soit en demandant un compte-rendu de la part de l'élève à corriger plus tard par le maître, mais il est dommage que l'élève ne soit pas évalué immédiatement pour pouvoir revenir immédiatement sur sa procédure ;
soit dans une phase de mise en commun (les élèves avec le maître valident ou invalident les procédures en argumentant) suivie d'une phase de correction (où les élèves peuvent retourner sur ordinateur pour modifier leurs procédures).

b) Quels types d’erreurs peut-il alors mettre en évidence ?

Certains élèves pourraient utiliser d'autres procédures de construction : par exemple, on peut envisager une procédure qui s'organiserait chronologiquement comme suit : construction de [DE], puis de C, puis de (AB), puis de A, O et B, puis le cercle.

Remarque : je ne pense pas que l'intention des auteurs de cette dernière question était de parler des difficultés spécifiques des logiciels de géométrie dynamique : un point déposé sur un objet n'est pas identique à un point attaché à ce même objet (un point sur une droite reste sur une droite lorsque l'on déplace la droite si ce point a été attaché à la droite, mais pas si le point a été déposé sur la droite), ... Si tel était le cas, je propose une autre réponse à la question 4 :
a) On déplace le point A et si la figure demeure correcte, la procédure est alors admissible.
b) Au point 2, l'élève peut avoir placé les points A et B sur le cercle au lieu d'attacher le premier au cercle et de définir l'autre comme intersection de droite et de cercle ; au point 3, l'élève peut avoir positionné C au milieu du segment [OA] sans l'avoir défini comme milieu du segment [OA], etc.