Sujet zéro (exercice 8)

Note : toutes les réponses aux questions suivantes doivent être argumentées.

1) On considère deux nombres : 29/55 et 39/75.

a) Sont-il des nombres décimaux ?

Ces nombres sont rationnels (i.e. ils sont de la forme p/q avec p entier et q entier naturel non nul).

La fraction 29/55 étant irréductible (i.e. on ne peut pas l'écrire différemment avec un dénominateur positif plus petit), elle est décimale si et seulement si le dénominateur (i.e. 55) n'a dans sa décomposition en produit de facteurs premiers que des 2 et des 5 ; cependant, la décomposition en produit de facteurs premiers de 55 est 55 = 5 x 11 et donc la fraction 29/55 n'est pas décimale.

La fraction 39/75 n'est pas irréductible, mais 39/75 = 13/25 avec 13/25 qui est une fraction irréductible (i.e. on ne peut pas l'écrire différemment avec un dénominateur positif plus petit), elle est décimale si et seulement si le dénominateur (i.e. 25) n'a dans sa décomposition en produit de facteurs premiers que des 2 et des 5 ; cependant, la décomposition en produit de facteurs premiers de 25 est 25 = 5 x 5 et donc la fraction 39/75 = 13/25 est décimale.

b) Comparer ces deux nombres.

On a 0,527 ≤ 29/55 ≤ 0,528 et 39/75 = 13/25 = 0,52. Ainsi, on conclut que 39/75 = 13/25 < 29/55.

c) Trouver un nombre décimal strictement compris entre ces deux nombres.

On peut poursuivre et donner : 39/75 = 13/25 < 0,524 < 29/55.

d) Trouver une fraction qui ne soit pas un nombre décimal, strictement comprise entre ces deux nombres.

L'hypothèse "qui ne soit pas un nombre décimal" nous empêche de fournir la réponse donnée précédemment soit 524/1000 = 131/250. Cependant, 524/999 ou 524/1001 devraient convenir.
En effet,
la fraction 524/999 étant irréductible (i.e. on ne peut pas l'écrire différemment avec un dénominateur positif plus petit), elle est décimale si et seulement si le dénominateur (i.e. 999) n'a dans sa décomposition en produit de facteurs premiers que des 2 et des 5 ; cependant, la décomposition en produit de facteurs premiers de 999 est 999 = 3 x 3 x 3 x 37 et donc la fraction 524/999 n'est pas décimale ;
de même, la fraction 524/1001 étant irréductible (i.e. on ne peut pas l'écrire différemment avec un dénominateur positif plus petit), elle est décimale si et seulement si le dénominateur (i.e. 1001) n'a dans sa décomposition en produit de facteurs premiers que des 2 et des 5 ; cependant, la décomposition en produit de facteurs premiers de 1001 est 1001 = 7 x 11 x 13 et donc la fraction 524/1001 n'est pas décimale.
Maintenant qu'on sait que ces fractions ne sont pas décimales, il reste à montrer qu'elles sont comprises entre 39/75 = 13/25 et 29/55. Il est évident que 524/1001 < 524/1000 < 424/999. Il reste à montrer que
13/25 < 524/1001 ou que 13 x 1001 = 13013 < 25 x 524 = 13100, ce qui est évident ;
et que 524/999 < 29/55 ou que 524 x 55 = 28820 < 999 x 29 = 28971, ce qui est également évident.

Conclusion : 39/75 = 13/25 < 524/1001 < 0,524 < 524/999 < 29/55

2)

a) Ranger dans l’ordre croissant les nombres suivants :
1,7
1,07
1,109
1,81.

On a 1,07 < 1,109 < 1,7 < 1,81. Pour justifier cela, on peut expliquer comment on peut ranger des nombres décimaux :
i. si deux décimaux ont des parties entières différentes, le plus grand est celui qui a la plus grande partie entière ;
ii. si deux décimaux ont des parties entières égales, on classe ces nombres en utilisant l'ordre lexicographique de leur partie décimale.

b) Donner deux décimaux strictement compris entre les nombres 1,1 et 1,11.

1,1 < 1,101 < 1,102 < 1,11. La justification de la question 2. a) demeure valable pour la question 2. b).

Questions complémentaires

3) On considère l’exercice suivant :

Trouver un nombre compris entre
8,4 et 8,7
10,1 et 10,2
25 et 25,1
7 et 7,01.

a) Quelle propriété (notée P) de l’ensemble des nombres décimaux permet d’affirmer que cet exercice a des solutions ? Comment la formuleriez vous pour des élèves de fin cycle 3 ?

Il s'agit de la propriété d'intercalation des décimaux : entre deux nombres décimaux, il existe toujours un (et même une infinité) autre nombre décimal. Cette propriété n'est évidemment plus valable si l'on remplace nombre décimal par nombre entier.

Pour des élèves, une phrase du type "Entre deux nombres décimaux, je pourrai toujours trouver un autre nombre décimal" peut faire l'affaire.

Remarque : il n'est pas demandé dans cette question de parler des procédures que l'élève pourrait utiliser.

b) Expliquer pourquoi le choix des valeurs numériques est important dans ce type d’exercice.

Le choix des valeurs influe sur la difficulté de la tâche. Voici les différentes actions implicitement utilisées pour résoudre un tel exercice.
8,4 et 8,7 P₁ [84 < 85 < 87] d'où 8,5 convient.
10,1 et 10,2 P₁ [il n'existe pas d'entier entre 101 et 102] P₂ [traiter 10,1 comme 10,10 et 10,2 comme 10,20] P₁ [1010 < 1015 < 1020] d'où 10,15 convient.
25 et 25,1 P₀ [traiter 25 comme 25,0] P₁ [il n'existe pas d'entier entre 250 et 251] P₂ [traiter 25 comme 25,00 et 25,1 comme 25,10] P₁ [2500 < 2505 < 2510] d'où 25,05 convient.
7 et 7,01 P₀ [traiter 7 comme 7,00] P₁ [il n'existe pas d'entier entre 700 et 701] P₂ [traiter 7 comme 7,000 et 7,01 comme 7,010] P₁ [7000 < 7005 < 7010] d'où 70,05 convient.
Avec
Procédure P₀ : mettre au même format les décimaux.
Procédure P₁ : considérer les décimaux en omettant la virgule, c'est-à-dire comme des entiers, trouver un entier compris entre ces deux entiers, et placer dans cet entier trouvé la virgule au bon endroit.
Procédure P₁ : considérer que la procédure P1 ne peut fonctionner et qu'il faut la perfectionner.
Procédure P₂ : l'actuel format ne convenant pas, on utilise alors les zéros non écrits de l'écriture à virgule.

On peut alors constater un accroissement de la difficulté au cours de la séance au regard du nombre de procédures à mettre en oeuvre.

c) Certains élèves échouent à l’exercice ci-dessus. Donner une origine vraisemblable de leurs difficultés.

Ces difficultés ont été mises en lumière dans la réponse à la question précédente. La principale origine de ces difficultés est que la propriété d'intercalation, qui est vraie pour les nombres décimaux, est fausse quand il s'agit d'entiers naturels : entre deux nombres décimaux il existe toujours un autre nombre décimal, mais entre deux entiers naturels, il n'existe pas toujours un autre entier naturel (s'il n'en existe pas, les deux entiers naturels sont dits consécutifs).
Par exemple, entre 101 et 102, il n'existe pas d'entier naturel et l'élève peut alors être amené à penser qu'il n'existe pas de nombre décimal entre 10,1 et 10,2 : entre 101 dixièmes et 102 dixièmes, l'élève peut croire qu'il n'existe pas de nombre décimal.

d) En quoi le travail de la propriété P est-il indispensable à la connaissance des nombres décimaux ?

La réponse se trouve directement dans le programme du cycle 3.

A propos de la compétence "Intercaler des nombres décimaux entre deux nombres entiers consécutifs ou entre deux nombres décimaux", il est dit : "ces activités permettent aux élèves de prendre conscience que la notion de nombres consécutifs, valable pour les nombres entiers, ne l’est plus pour les nombres décimaux : intercaler un nombre (décimal) entre deux nombres décimaux devient toujours possible. Ces questions d’intercalation peuvent également être l’occasion de rencontrer des nombres décimaux qui s’écrivent avec plus de trois chiffres dans leur partie décimale".

Une application importante de la propriété d'intercalation est l'approximation (plus tard, on dira qu'un nombre réel est un nombre qui possède un développement décimal, limité ou non ...) et l'élève doit également être confronté à cette notion, comme le stipule le programme avec la compétence "Donner une valeur approchée d’un nombre décimal à l’unité près, au 1/10 ou au 1/100 près", pour lequel il est commenté : "La notion de valeur approchée fait l’objet d’un tout premier travail qui doit prendre sens pour l’élève, en relation avec un contexte issu de la vie courante, de la physique, de la géographie ... Par exemple, pour la monnaie, on n’utilise que des nombres avec deux décimales.

4) Les documents 1 et 2 présentent plusieurs méthodes pour comparer les nombres décimaux.

a) En revenant à la définition d’un nombre décimal, justifier ces deux méthodes.

La méthode par recours à la mise au format est proposée par la deuxième méthode du document 1. Il ne s'agit pas d'une procédure experte, mais d'une procédure qui permet de faire des liens entre la comparaison sur les décimaux et celle sur les entiers. Pour comparer deux décimaux donnés par leurs écritures à virgule, il s'agit de les mettre tous deux au même format (i.e. avec le même nombre de chiffres après la virgule en complétant au besoin les écritures à virgule par des 0, à droite), puis de les comparer en omettant la virgule et en les considérant donc comme des entiers.
Remarque : l'élève a vu la définition d'un nombre décimal à partir des fractions décimales et n'est censé savoir comparer en fin de cycle 3 que des fractions ayant même dénominateur, la tâche qui leur est proposée dans cette procédure relève donc de ce type de comparaison puisque mettre deux nombres au même format revient à les exprimer tous deux en dixièmes, ou en centièmes, ... puis de comparer les numérateurs.

La méthode utilisant l'ordre lexicographique est mise en lumière dans la première méthode du document 1 et dans le document 2. Il s'agit d'une procédure experte. Pour comparer deux décimaux donnés par leurs écritures à virgule, il s'agit tout d'abord de comparer les parties entières, puis
si elles sont différentes de conclure que le nombre le plus grand est celui qui possède la plus grande partie entière
ou
si elles sont égales, de classer les parties décimales suivant l'ordre lexicographique (i.e. comme dans un dictionnaire) et de conclure que le nombre le plus petit est le premier dans l'ordre lexicographique (i.e. le premier dans le dictionnaire).
Remarque : cette procédure experte ne peut devenir acceptable pour l'élève qu'en donnant du sens à chacun des chiffres du développement décimal et en faisant le lien avec la méthode par recours à la mise au format.

b) Les exemples proposés dans les documents 1 et 2 vous semblent ils pertinents ? Justifier.

Première méthode du document 1.
Il faut comparer 7,25 et 7,3. Pour comparer ces deux nombres, il suffit avec cette méthode de comparer les chiffres 2 et 3 et il n'est pas expliqué comment il faut faire pour comparer un chiffre et une absence de chiffre comme en comparant 7,25 et 7,2, par exemple ou il faut comparer 5 et " " ; les nombres choisis cachent donc une difficulté de la méthode.

Deuxième méthode du document 1.
Il faut encore comparer 7,25 et 7,3. Cette fois-ci, les nombres sont bien choisis puisqu'ils ne sont pas au même format.

Méthode du document 2.
Les nombres à comparer sont à chaque moment de l'explication au même format, et, de ce fait, l'élève peut les comparer en utilisant une méthode moins experte encore que celle de la mise au format en omettant simplement la "," de l'écriture décimale du nombre puis en comparant les entiers qui en résultent.

c) En vous inspirant des méthodes des documents 1 et 2, donner la règle de comparaison que vous proposeriez à vos élèves. Justifier votre choix.

Pour comparer des nombres décimaux écrits avec la virgule ...
Premier cas : les parties entières sont différentes. Alors, le nombre le plus grand est celui qui a la plus grande partie entière.
Deuxième cas : les parties entières sont égales. Alors, on compare les parties décimales chiffre par chiffre (celui des dixièmes de l'un avec celui des dixièmes de l'autre, celui des centièmes de l'un avec celui des centièmes de l'autre, ...) jusqu'à ce que ces chiffres soient différents (s'il n'existe pas de tels chiffres, les nombres sont égaux) et en tenant compte du fait qu'une absence de chiffre est traitée comme une présence du chiffre 0. Le plus grand nombre est celui dont le chiffre est de rang le plus grand.

Pour le choix des nombres, je prendrais deux exemples : 12,345 et 12,4 puis 1,234 et 1,23.