Sujet zéro (exercice 9)

    1) Résoudre le problème suivant en utilisant une procédure algébrique.
    Problème 1 : Depuis ce matin, un magasinier range sans interruption des caisses dans un entrepôt. Il a calculé que, s’il range 50 caisses à l’heure, il aura fini à 11 h 30. Si par contre il en range 60 à l’heure, il aura fini à 11 h 15. A quelle heure a-t-il commencé son travail ? Justifier la réponse.
    Soit n le nombre de caisses que le magasinier doit ranger.
    Le temps mis à la vitesse de 50 caisses à l'heure est donc : t1 = n/50 (en heures).
    Le temps mis à la vitesse de 60 caisses à l'heure est donc : t2 = n/60 (en heures).
    Cependant, t1 - t2 = 11,5 - 11,25 = 0,25 (toujours en heures). Et, on déduit l'équation n/50 - n/60 = 0,25. Celle-ci se résout facilement et on obtient n = 75.
    Il s'ensuite que t1 = 1,5 (en heures) et que t2 = 1,25 (en heures) et que l'heure à laquelle il a commencé son travail est donnée soit par 11,5 - 1,5 = 10 (en heures), soit par 11,25 - 1,25 = 10 (en heures).
    Conclusion : il a commencé à dix heures.
    2) Utilisez le tableau de l’aide n°1 de l’annexe pour résoudre le problème 2 ci-dessous en explicitant votre procédure.
    Problème 2 : Depuis ce matin, Alain et Bernard rangent sans interruption des caisses dans un entrepôt.
    -Alain range 50 caisses à l’heure, il aura fini à 11 h 30.
    -Bernard range 60 caisses à l’heure, il aura fini à 11 h 15.
    Ils ont débuté le travail en même temps et doivent ranger chacun le même nombre de caisses. Ils travaillent régulièrement.
    Je remplis tout d'abord le tableau de l'aide n°1 en utilisant le fait que le nombre de caisses remplies par l'un et l'autre est proportionnel au temps car "ils travaillent régulièrement". Pour remplir ce tableau de proportionnalité j'ai utilisé des relations multiplicatives et additives de linéarité (par exemple, si en une heure Alain range 50 caisses, alors en un quart d'heure, il range 50/4 = 12,5 caisses et donc, en une heure et quart, il range 50 + 12,5 = 62,5 caisses).
    Une fois le tableau rempli, comme Bernard met un quart d'heure de moins qu'Alain, je cherche quand la valeur dans la colonne d'Alain à la ligne d'indice i est égale à celle dans la colonne de Bernard à la ligne d'indice i - 1. Je trouve donc que cette valeur est 75, ce qui correspond à 1 h 30 de travail pour Alain et à 1 h 15 de travail pour Bernard.
    Je déduis par soustraction qu'Alain et Bernard ont tous deux commencé à 10h.
    Questions complémentaires
    Un maître de cycle 3 souhaite travailler avec ses élèves la résolution de problèmes relevant de la proportionnalité. Dans cet objectif, il a prévu de leur proposer le problème 2. Lors de sa préparation de séance, il construit trois aides (voir en annexe).
    3) Question concernant l’aide n°1.
    a) Décrire mathématiquement deux procédures différentes qu'un élève de cycle 3 pourrait utiliser pour remplir la case correspondant au nombre de caisses rangées par Bernard en 1 h 30 min.
    Soit t le temps de parcours et f(t) le nombre de caisses rangées par l'un ou l'autre.
    Première procédure : utilisation de la propriété "multiplicative de linéarité".
    ¤ f(1/2) = 1/2 x f(1) ou, pour Alain, en une demi heure, il range 1/2 x 50 = 25 caisses ; puis, f(3/2) = 3 x f(1/2), ou, pour Alain, en une heure et demie, il range 3 x 25 = 75 caisses.
    NB : directement, il était possible d'obtenir f(3/2) = 3/2 x f(1), ...
    Deuxième procédure : utilisation mixte des propriétés "multiplicative de linéarité" et "additive de linéarité".
    ¤ f(1/2) = 1/2 x f(1) ou, pour Alain, en une demi heure, il range 1/2 x 50 = 25 caisses ; puis, f(3/2) = f(1) + f(1/2), ou, pour Alain, en une heure et demie, il range 50 + 25 = 75 caisses.
    NB : autrement, il était possible d'obtenir f(3/2) = f(1/2) + f(1/2) + f(1/2), ...
    b) En quoi ce tableau peut-il être une aide ?
    Ce tableau permet de s'acquitter rapidement de tous les calculs multiplicatifs, et l'élève peut alors ensuite concentrer toute son attention sur la résolution du problème.
    c) Après avoir rempli correctement le tableau, un élève conclut qu’on ne peut pas donner le nombre de caisses rangées par Alain et Bernard car il y a plusieurs réponses possibles. Faites une (des) hypothèse(s) sur la nature de l’erreur de cet élève pouvant expliquer sa réponse.
    Peut-être l'élève a-t-il simplement repéré qu'Alain et Bernard ont rangé le même nombre de caisses sans tenir compte de l'écart de temps pour accomplir cette tâche. Sous cette hypothèse, dans le tableau, il a pu repérer le 0, le 75 et le 150 et ne peut pas conclure.
    A l'inverse, mais moins probablement, l'élève n'a pas tenu compte du fait qu'Alain et Bernard ont rangé le même nombre de boîtes et a considéré qu'Alain rangeait les caisses en un quart d'heure de plus que Bernard. Sous cette hypothèse, Alain peut par exemple ranger 25 caisses pendant que Bernard en range 15.
    4) Question concernant l’aide n°2.
    Compléter ce tableau.
Mettre une croix dans les cases qui conviennent
  VRAI FAUX Je ne sais pas répondre Justification
Au bout de 2 h, Alain aura rangé 100 caisses. X     Propriété multiplicative de linéarité : 2 x 50 = 100
Au bout de 3 h, Alain aura rangé le nombre de caisses qu'il range en 1 h multiplié par 3 X     Propriété multiplicative de linéarité sur l'exemple de 3 h
On ne sait pas exactement combien Alain aura rangé de caisses au bout de 15 min   X   Au bout de 15 min, il aura rangé 12,5 caisses (il a donc rangé 12 caisses entières, mais s'agissant d'une situation de proportionnalité, la valeur non entière 12,5 a du sens).
Au bout de 45 min, Alain aura rangé 37 caisses X     Il en aura même rangé 37,5
Au bout de 2 h, Bernard aura rangé 120 caisses (60 x 2) X     Propriété multiplicative de linéarité : 2 x 60 = 120
Au bout de 15 min, Bernard aura rangé 10 caisses X     Il en aura même rangé 15
Au bout de 1 h 45 min, Bernard aura rangé le nombre de caisses qu'il range en 1 h auquel on ajoute le nombre de caisses qu'il range en 45 min X     Au bout de 1 h 45 min, Bernard aura rangé le nombre de caisses qu'il range en 1h auquel on ajoute le nombre de caisses qu'il range en 45 min
    5) Question concernant l’aide n°3.
    En quoi l’aide n°3 modifie-t-elle la tâche de l’élève ?
    Le nouveau problème proposé dans l'aide n°3 se réduit au traitement direct d'une situation de proportionnalité, alors que le problème d'origine est plus complexe (par exemple, le problème d'origine demande en plus d'aller chercher dans les données l'écart de temps mis par Alain et Bernard). Cette aide peut probablement inviter l'élève à construire un tableau qui serait réutilisable par la suite. Cependant, il est à déplorer que ce nouveau problème suggère directement la réponse à la question 2 du problème d'origine, i.e. 10 h (pour résoudre le problème d'origine, il ne reste plus qu'à l'élève de constater qu'Alain et Bernard ont effectivement commencé à 10 h pour ranger chacun 75 caisses). Ceci risque d'aider l'élève à résoudre le problème d'origine sans pour autant l'aider à résoudre d'autres problèmes du même type.
    6) Question concernant les trois aides.
    D’après vous, quelle(s) aides(s) le maître devrait-il privilégier pour respecter l’objectif de sa séance ? Justifier.
    La seule aide qui me semble intéressante est la n°1.
    A. La n°2 soulève des questions inutiles pour résoudre le problème :
    B. La n°3 donne la réponse au problème et n'aide donc pas l'élève à chercher une solution à ce problème (voir question 5).
    C. Enfin, la n°1 donne un tableau permettant de synthétiser partiellement le problème sans en fournir directement la solution.
    7) Pendant la séance, un élève a testé plusieurs heures de début possible du rangement : il a essayé successivement 8h, 9h, puis 10h. Il a ainsi rapidement résolu le problème 2. Le maître n’avait pas envisagé cette procédure : pourquoi lui pose-t-elle problème ? Comment aurait-il pu la rendre moins efficace ?
    Cette solution pose problème au maître car l'élève a obtenu une solution rapide et efficace par tâtonnement sans avoir même eu à réfléchir sur la manière de tâtonner. Le tâtonnement est souvent une méthode efficace à l'école (et même plus tard au collège, au lycée, ...) et il ne faut pas non plus totalement la refouler.
    Le maître aurait pu rendre le tâtonnement moins efficace en proposant le problème initial décalé d'un quart d'heure (ou d'une demi-heure, ...), ce qui n'en modifierait pas la complexité (puisque l'écart de temps n'a pas varié) :
    Problème 2' : Depuis ce matin, Alain et Bernard rangent sans interruption des caisses dans un entrepôt.
    -Alain range 50 caisses à l’heure, il aura fini à 11 h 15.
    -Bernard range 60 caisses à l’heure, il aura fini à 11 h 00.
    Ils ont débuté le travail en même temps et doivent ranger chacun le même nombre de caisses. Ils travaillent régulièrement.
    Pour ce problème 2', l'élève qui tâtonne ne peut plus se contenter d'un tâtonnement usuel sur les entiers (par exemple, 8, 9 et 10) et doit alors commencer à réfléchir sur l'organisation de ses essais pour atteindre la solution correcte.