Denis Vekemans
Maître de conférences au Centre IUFM
de Gravelines
Approximation
Soit a une donnée et soit d une
précision.
Valeur approchée
On donne UNE valeur approchée de a à d
près. Dans ce cas, TOUTE valeur comprise entre a - d et a
+ d convient (i.e. toute valeur x telle que a - d < x < a + d convient).
Pour l'exemple, a = π et d = 0,1, 3,1, 3,2,
... ou 3,15 conviennent.
Lorsque l'on désire quelque chose de plus précis, le
vocabulaire doit également l'être.
Valeur approchée par troncature
On pose pour cette section d=10-p où p
est un entier naturel.
LA valeur approchée de
à d près par troncature est
.
[σ est un signe et les ai sont les chiffres
de a en base 10.]
Pour l'exemple, a = π et d = 0,1, LA valeur qui
convient est 3,1.
Pour l'exemple, a = - π et d = 0,1, LA valeur qui
convient est - 3,1.
Valeur approchée par
défaut ou par excès
Il faut distinguer les deux définitions suivantes pour "valeur
approchée par défaut" selon que l'on parle de "LA valeur
approchée par défaut" ou d'"UNE valeur approchée
par défaut". Il en est de même pour "valeur
approchée par excès".
UNE
On donne UNE valeur approchée par défaut de a
à d près. Dans ce cas, TOUTE valeur comprise
entre a - d et a convient (i.e. toute valeur x
telle que a - d < x ≤ a convient).
Pour l'exemple, a = π et d = 0,1, 3,1, ... ou 3,11
conviennent.
On donne UNE valeur approchée par excès de a
à d près. Dans ce cas, TOUTE valeur comprise
entre a et a + d convient (i.e. toute valeur x
telle que a ≤ x < a + d convient).
Pour l'exemple, a = π et d = 0,1, 3,2, ... ou 3,15
conviennent.
LA
On pose pour cette section d = 10-p où p
est un entier naturel.
LA valeur approchée de
à d près par défaut est
.
[Les ai sont les chiffres de a en base 10.]
LA valeur approchée de a lorsque
à d près par défaut est
.
[Les ai sont les chiffres de a + d en base 10.]
LA valeur approchée de a à d près
par défaut est l'opposé de LA valeur approchée de -a
à d près par excès.
LA valeur approchée de a à d près
par excès est l'opposé de LA valeur approchée de -a
à d près par défaut.
Pour l'exemple, a = π et d = 0,1, LA valeur
approchée de a à d près par
défaut est 3,1 et LA valeur approchée de a
à d près par excès est 3,2.
Pour l'exemple, a = - π et d = 0,1, LA valeur
approchée de a à d près par
défaut est - 3,2 et LA valeur approchée de a
à d près par excès est - 3,1.
Remarque : pour les nombres positifs, les notions de valeur
approchée par troncature et de valeur approchée par
défaut sont identiques, mais pour les nombres négatifs,
les notions de valeur approchée par troncature et de valeur
approchée par défaut sont différentes.
Valeur arrondie
LA valeur arrondie de a à d près est LA
valeur approchée de a + d/2 à d
près par défaut.
Pour l'exemple, a = π et d = 0,1, LA valeur arrondie de
a à d près par défaut est 3,1.
Pour l'exemple, a = 0,05 et d = 0,1, LA valeur arrondie
de a à d près par défaut est 0,1.
Pour l'exemple, a = -0,05 et d = 0,1, LA valeur arrondie
de a à d près par défaut est 0.
- Exercice corrigé
2,7 est la valeur approchée par défaut de a
à 0,1 près ;
3 est la valeur approchée par défaut de b à 0,1 près ;
1 est la valeur arrondie de c à 0,01 près ;
et 2,7 est la valeur approchée par défaut de d à 0,1 près.
(1) A-t-on forcément a = d ?
(2) Donner le meilleur encadrement possible pour a.
(3) Donner le meilleur encadrement possible pour b.
(4) Donner le meilleur encadrement possible pour c.
(5) Donner le meilleur encadrement possible pour d.
(6) Donner le meilleur encadrement possible pour
(b x c - a)/d.
(7) Donner le meilleur encadrement possible pour
(d - a)/(b - c).
(8) Donner le meilleur encadrement possible pour
(b - a)/(c - d).
- Exercice corrigé
(1) Donner une valeur approchée de la racine carrée de
2 à 0,000001 près.
?
(2) Donner une valeur approchée de 665857/470832 à
0,000001 près.
(3) La racine carré de 2 est-elle égale à 665857/470832 ?
