Denis Vekemans
Maître de conférences au Centre IUFM de Gravelines

La géométrie plane

Droites, demi-droites, segments

Ces notions se passeront ici de définitions.

Notations :
On note (AB) la droite passant par les points A et B.
On note [AB) la demi-droite issue de A, passant par B.
On note [AB] le segment ayant pour extrémités A et B.
On note AB la longueur du segment [AB].

Quand trois points sont sur la même droite, on les dit alignés.

Exercice corrigé

1. Si AB = AC, a-t-on forcément [AB] = [AC] ?
Réponse ! ******************************************************************************** ******************************************************************************** ******************************************************************************** ******************************************************************************** Non ! Pour s'en convaincre, il suffit de construire un triangle ABC isocèle en A avec B et C distincts. On a AB = AC (parce que le triangle est isocèle), mais on n'a pas [AB] = [AC] (car ces segments ne sont pas confondus, leur seule intersection étant le point A).

2. Si les segments [AB] et [CD] sont sans point commun, en est-il forcément de même pour les droites (AB) et (CD) ?
Réponse ! ******************************************************************************** ******************************************************************************** ******************************************************************************** ******************************************************************************** Non ! Pour s'en convaincre, il suffit de construire un triangle ACE (A, E et C distincts) avec B milieu de [AE] et D milieu de [CE]. Les segments [AB] et [CD] sont sans point commun, mais les droites (AB) et (CD) se coupent en E.

Droites particulières

La notion de droites perpendiculaires n'est pas définie ici.

d est perpendiculaire à d' est noté d ┴ d'.

Définition : Deux droites sont dites parallèles si elles n'ont aucun point commun ou sont confondues.

d est parallèle à d' est noté d // d'.

Tracés à la règle et à l'équerre :

D'une droite perpendiculaire à (AB), passant par C.
Réponse ! ******************************************************************************** ******************************************************************************** ******************************************************************************** ******************************************************************************** On place la règle de manière à ce qu'elle porte la droite (AB), on pose l'équerre (sous-entendu l'angle droit de l'équerre) sur la règle et on fait glisser l'équerre jusqu'à ce qu'elle permette de tracer une droite contenant le point C, ce que l'on fait.

D'une droite parallèle à (AB), passant par C.
Réponse ! ******************************************************************************** ******************************************************************************** ******************************************************************************** ******************************************************************************** On place l'équerre de manière à ce que l'un des côtés de l'angle droit porte la droite (AB), on pose la règle sur l'autre côté de l'angle droit et on fait glisser l'équerre jusqu'à ce qu'elle permette de tracer une droite contenant le point C, ce que l'on fait.

Exercice corrigé

Donner des algorithmes de construction utilisant la règle graduée et l'équerre pour les deux figures suivantes :

1. ABKC est un quadrilatère convexe ; ses diagonales se coupent en I ; BI = AI = CI ; IK = KC ; (IK) ┴ (KC).
Réponse ! ******************************************************************************** ******************************************************************************** ******************************************************************************** ******************************************************************************** On trace un segment [CK]. On mène la perpendiculaire à la doite (KC) passant par K [utilisation de l'équerre]. Sur cette perpendiculaire, on place le point I tel que KI = KC [utilisation de la règle graduée]. On trace la droite (CI). Sur la droite (CI), on place le point B tel que CI = IB [utilisation de la règle graduée] et que B et C soient de part et d'autre de I. On trace la droite (CI). Sur la droite (KI), on place le point A tel que AI = IC [utilisation de la règle graduée] et que A et K soient de part et d'autre de I. On trace enfin les segments [KB], [BA] et [AC].

2. CDE est un triangle ; A est le pied de la hauteur issue de D ; CA = AD ; CD = AE ; F est un point de la droite (DE) ; (CD) // (AF).
Réponse ! ******************************************************************************** ******************************************************************************** ******************************************************************************** ******************************************************************************** On trace un segment [CA]. On mène la perpendiculaire à la doite (CA) passant par A [utilisation de l'équerre]. Sur cette perpendiculaire, on place le point D tel que CA = AD [utilisation de la règle graduée]. On trace le segment [CD]. Sur la droite (CA), on place le point E tel que AE = CD [utilisation de la règle graduée] et que C et E soient de part et d'autre de A. On trace la droite (ED). On trace la parallèle à la droite (CD) passant par le point A [utilisation de la règle et de l'équerre]. On appelle F le point de concours de la droite (ED) et de la parallèle à la droite (CD) passant par A.

Exercice corrigé

Soit d une droite. Déterminer l'ensemble des points situés à moins de 2 cm de d.
Réponse ! ******************************************************************************** ******************************************************************************** ******************************************************************************** ******************************************************************************** On considère la droite d. Soit A un point de cette droite. On trace la perpendiculaire à la droite d passant par A. Sur cette perpendiculaire, on place deux points B et C tels que AB = 2 cm et AC = 2 cm avec B et C distincts. On trace la parallèle à d passant par B, notée d1, et la parallèle à d passant par C, notée d2. Le lieu recherché est la portion de plan comprise entre les deux droites d1 et d2.

Théorème : transitivité du parallélisme

Si d // d' et si d' // d'', alors d // d''.

Théorème : composition de perpendicularité et de perpendicularité

Si d ┴ d' et si d' ┴ d'', alors d // d''.

Théorème : composition de parallélisme et de perpendicularité

Si d' // d'' et si d ┴ d', alors d ┴ d''.

Théorème : parallélisme et alignement

Si (AB) // (AC), alors A, B et C sont alignés.

Théorème : cas d'égalité de l'inégalité triangulaire

Si AC = AB + BC, alors A, B et C sont alignés et B appartient au segment [AC]. Réciproquement, si B appartient au segment [AC], alors AC = AB + BC.

Médiatrices

Définition :

L'ensemble des points équidistants de A et B est appelée la médiatrice du segment [AB].

Dans l'animation ci-dessous, en déplaçant les points A et/ou B, on peut voir comment se déplace la médiatrice du segment [AB] ...

Théorème

Si un point est équidistant des extrémités d'un segment, alors il est sur la médiatrice de ce segment.

Réciproquement, si un point est sur la médiatrice d'un segment, alors, il est équidistant des extrémités de ce segment.

Théorème

Si une droite passe par deux points distincts équidistants de A et de B, alors c'est la médiatrice de [AB].

Théorème

Si une droite d est médiatrice du segment [AB], alors, d est une droite telle que d ┴ (AB) et d passe par le milieu de [AB].

Réciproquement, si une droite d passe par le milieu de [AB] et si cette droite est perpendiculaire à la droite (AB), alors d est médiatrice du segment [AB].

Théorème

Si une droite passe par un point équidistant de A et de B et est perpendiculaire à la droite (AB), alors c'est la médiatrice de [AB].

Cercles

Définitions :
Le cercle Γ de centre O et de rayon r (un nombre réel positif) est l'ensemble des points du plan situés à une distance r de O.
Le disque plein Ω de centre O et de rayon r (un nombre réel positif) est l'ensemble des points du plan situés à une distance inférieure ou égale à r de O.
L'intérieur strict du disque plein Ω' de centre O et de rayon r (un nombre réel positif) est l'ensemble des points du plan situés à une distance strictement inférieure à r de O.

Soit [AB] un segment. Soit O le milieu du segment [AB]. Soit Γ le cercle de centre O et de rayon r. Soient P et Q des points du cercle. Soit T la droite passant par A, perpendiculaire à (AB).
On dit que les segments [OA], [OB], [OP] et [OQ] sont des rayons du cercle Γ. Au singulier, on dit que le rayon du cercle est la longueur commune aux rayons (ici OA = OB =OP = OQ).
On dit que le segment [AB] est un diamètre du cercle Γ. Au singulier, on dit que le diamètre du cercle est la longueur commune aux diamètre (ici AB).
On dit que le segment [PQ] est une corde. On définit aussi un arc de cercle PQ comme l'ensemble des points du cercle situés entre P et Q (petit arc PQ, grand arc PQ).
T est la tangente au cercle Γ en A.

Dans l'animation ci-dessous, il est intéressant de déplacer le point B pour observer les propriétés qui demeurent : le centre du cercle reste le milieu d'un diamètre, la tangente en un point reste perpendiculaire au diamètre contenant ce point, ...

Positions relatives de deux cercles :
Une infinité d'intersections. Les cercles sont confondus.
Deux intersections uniquement. Les cercles sont sécants.
Une seule. Les cercles sont tangents.
Sans intersection. Les cercles sont disjoints.
Lorsque deux cercles ont même centre, on dit qu'ils sont concentriques.

Exercice corrigé

1. Soient A et B fixés tels que AB = 6 cm. Hachurer l'ensemble des points situés à moins de 3 cm de A et à moins de 5 cm de B.
Réponse ! ******************************************************************************** ******************************************************************************** ******************************************************************************** ******************************************************************************** On trace le segment [AB] de 6 centimètres. On trace le cercle C1 de centre A et de rayon 3 centimètres, puis le cercle C2 de centre B et de rayon 5 centimètres. La zone cherchée est celle à l'intersection des deux disques de bords C1 et C2.

2. Soient C et D fixés tels que CD = 4. Hachurer l'ensemble des points situés à moins de 2 de C et à plus de 3 de D.
Réponse ! ******************************************************************************** ******************************************************************************** ******************************************************************************** ******************************************************************************** On trace le segment [CD] de 4 unités. On trace le cercle C1 de centre C et de rayon 2 unités, puis le cercle de centre D et de rayon 3 unités. La zone cherchée est le disque de bord C1 privé du disque de bord C2.

Angles

Définitions : On appelle angle toute portion du plan délimitée par deux demi-droites de même origine.

On note AOB pour l'angle saillant formé à l'aide des demi droites [OA) et [OB). L'autre angle formé par ces deux demi-droites est appelé angle rentrant.

On peut mesurer un angle sur une échelle allant de 0 à 360 degrés. On se sert pour ce faire d'un rapporteur.

Un peu de vocabulaire lié aux mesures :

Deux angles sont dit supplémentaires si la somme de leurs mesures fait 180 degrés.

Deux angles sont dit complémentaires si la somme de leurs mesures fait 90 degrés.

Angles et droites

Soient deux droites (x'x) et (y'y) qui se coupent en O. Les angles et sont dits opposés par le sommet.

Théorème

Si deux angles sont opposés par le sommet, ils sont égaux en mesure.

Soient deux droites (x'x) contenant un point A et (y'y) contenant un point B qui soient parallèles (les demi-droites [Ax) et [By) sont du même côté de la droite (AB)). Soit (z'z) une droite contenant les points A et B (tels que A et z soient de part et d'autre de B).

Les angles et sont dits alternes internes. C'est aussi le cas des angles et .

Les angles et sont dits alternes externes. C'est aussi le cas des angles et .

Les angles et sont dits correspondants. C'est aussi le cas des angles et ; des angles et ; des angles et .

Théorème

Soient deux droites parallèles (x'x) contenant un point A et (y'y) contenant un point B (les demi-droites [Ax) et [By) sont du même côté de la droite (AB)). Soit (z'z) une droite contenant les points A et B (tels que A et z soient de part et d'autre de B). Dans ce cas, on a = = = , et = = = .

Autrement dit, si une sécante coupe deux droites parallèles, alors les angles alternes internes, les angles alternes externes et les angles correspondants sont égaux.

Théorème

Soient [AB) et [CD) deux demi-droites telles que les angles et soient égaux. Si B et D sont de part et d'autre de la droite (AC), alors les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Autrement dit, si une sécante coupe deux droites de telle façon que les angles alternes internes (on aurait une propriété semblable avec des angles alternes externes ou correspondants) sont égaux, alors ces deux droites, que coupe la sécante, sont parallèles.

Bissectrices

Définition :

La bissectrice de l'angle est la droite qui passe par le sommet O de l'angle et qui partage l'angle (saillant et/ou rentrant) en deux angles égaux en mesure.

Dans l'animation ci-dessous, en déplaçant les points A et/ou B, on peut voir comment se déplace la bissectrice de l'angle ...

Exercice corrigé

Quel est l'ensemble des points équidistants des deux demi-droites [Ox) et [Oy) ?
Réponse ! ******************************************************************************** ******************************************************************************** ******************************************************************************** ******************************************************************************** C'est la bissectrice de l'angle x0y.

Angles et cercles

Définition :

Soit Γ un cercle de centre O. On considère alors un arc AB de ce cercle. Soient M et N deux points du cercle sur le grand arc AB. On dit que est angle au centre et que est angle inscrit, interceptant tous deux l'arc AB.

Théorème

Soit Γ un cercle de centre O. On considère alors un arc AB de ce cercle. Soit M un point du cercle Γ sur le grand arc AB.

Alors = 2 x .

Théorème

Soit Γ un cercle de centre O. On considère alors un arc AB de ce cercle. Soit M un point du cercle Γ sur le petit arc AB.

Alors = 360 degrés - 2 x .

Théorème

Soit Γ un cercle de centre O. On considère alors un arc AB de ce cercle. Soient M et N deux points du cercle appartenant tous deux au même arc (soit le petit, soit le grand) AB.

Alors = .

Théorème

Soit Γ un cercle de centre O. On considère alors un arc AB de ce cercle. Soient M un point du cercle appartenant au petit arc AB et N un point du cercle appartenant au grand arc AB.

Alors + = 180 degrés.

Théorème

Si [AB] est un diamètre, et si M est un point de ce cercle distinct de A et de B.

Alors l'angle est droit.

Tracés à la règle et au compas

Exercice corrigé

1. De la médiatrice du segment [AB].
Réponse ! ******************************************************************************** ******************************************************************************** ******************************************************************************** ******************************************************************************** Le segment [AB] est supposé donné. On trace le cercle C1 de centre A et de rayon r (où on choisit r strictement supérieur à AB/2), puis le cercle C2 de centre B et de rayon r (de même rayon que l'autre). Les deux cercles se coupent en deux points M et N (qui sont équidistants de A et de B) et la droite (MN) définit la médiatrice du segment [AB].

2. Du milieu du segment [AB].
Réponse ! ******************************************************************************** ******************************************************************************** ******************************************************************************** ******************************************************************************** Le segment [AB] est supposé donné. On trace la médiatrice du segment [AB] (technique vue ci-haut). Cette médiatrice coupe le segment [AB] en son milieu.

3. De la perpendiculaire à la droite (AB), passant par le point C.
Réponse ! ******************************************************************************** ******************************************************************************** ******************************************************************************** ******************************************************************************** La droite (AB) et le point C sont supposés donnés. On trace le cercle Gamma de centre C et de rayon r (où on choisit r strictement supérieur à la distance entre C et la droite (AB)). Le cercle Gamma coupe la droite (AB) en deux points M et N (C est équidistant de M et de N donc sur la médiatrice du segment [MN]). Enfin, on trace la médiatrice du segment [MN] (technique vue ci-haut) qui est perpendiculaire à la droite (AB) et qui passe par C.

4. De la parallèle à la droite (AB), passant par le point C.
Réponse ! ******************************************************************************** ******************************************************************************** ******************************************************************************** ******************************************************************************** La droite (AB) et le point C sont supposés donnés. 1ère méthode ! On trace la perpendiculaire (d) à la droite (AB) et qui passe par le point C (technique vue ci-haut). On trace ensuite la perpendiculaire (delta) à la droite (d) qui passe par le point C (technique vue ci-haut). La droite (delta) est alors parallèle à la droite (AB) et passe par le point C. Cette technique est basée sur l'anti-transitivité du parallélisme. 2ème méthode ! On place I le milieu du segment [AC] (technique vue ci-haut). On trace la droite (BI) et on trace le cercle Gamma de centre I et de rayon IB. Le cercle Gamma coupe la droite (BI) en deux points distincts D et B tels que le quadrilatère ABDC soit un parallélogramme. La droite (CD) est alors parallèle à la droite (AB) et passe par le point C. Cette technique est basée sur la caractérisation d'un parallélogramme par ses diagonales et sur la propriété de parallélisme de deux côtés opposés d'un parallélogramme. 3ème méthode ! On trace le cercle C1 de centre B et de rayon AC. On trace le cercle C2 de centre C et de rayon AB. Les cercles C1 et C2 se coupent en deux points dont l'un, D, tel que le quadrilatère ABDC ne soit pas croisé. Le quadrilatère ABDC est alors un parallélogramme et la droite (CD) est parallèle à la droite (AB) et passe par le point C. Cette technique est basée sur l'égalité des longueurs des côtés opposés d'un parallélogramme et sur la propriété de parallélisme de deux côtés opposés d'un parallélogramme.

5. Du centre du cercle C.
Réponse ! ******************************************************************************** ******************************************************************************** ******************************************************************************** ******************************************************************************** Le cercle C est supposé donné. On place deux points M et N sur le cercle C. On trace la médiatrice du segment [MN] (technique vue ci-haut). Cette médiatrice coupe le cercle C en deux points A et B (le segment [AB] est un diamètre). On place le milieu O du segment [AB] (technique vue ci-haut). Le point O est le centre du cercle C.

6. De la bissectrice de l'angle .
Réponse ! ******************************************************************************** ******************************************************************************** ******************************************************************************** ******************************************************************************** L'angle AOB est supposé donné. On trace un cercle de centre O. Ce cercle coupe la demi-droite [OA) en M et la demi-droite [OB) en N. Le triangle MNO est par conséquent isocèle en O. On trace alors la médiatrice du segment [MN] (technique vue ci-haut). Cette médiatrice est également bissectrice de l'angle AOB. Cette technique est basée sur le fait que dans un triangle isocèle, la médiatrice issue du sommet principal est aussi bissectrice.

Exercice corrigé

Donner un algorithme de construction utilisant la règle et le compas pour la figure suivante :
Γ est un cercle de centre J ;
M, N, E et P sont des points de Γ ;
[ME] et [NP] sont des diamètres de Γ ;
EL = EJ ; (EL) est la tangente au cercle en E ;
P appartient au segment [LJ].

Réponse ! ******************************************************************************** ******************************************************************************** ******************************************************************************** ******************************************************************************** On trace un cercle Gamma de centre J. On trace un droite qui coupe le cercle Gamma en les deux point distincts M et E. On trace alors la perpendiculaire (d) à la droite (EM) passant par E (technique vue ci-haut). On trace le cerlce C1 de centre E de rayon EJ. Le cercle C1 coupe la droite (d) en un point L. On trace la droite (LJ) qui coupe le cercle Gamma en deux point P et N tel que P est celui qui appartient au segment [JL].