Denis Vekemans
    Maître de conférences au Centre IUFM de Gravelines
La géométrie
    La géométrie plane
    Les théorèmes de Thalès et Pythagore
    Le théorème de Thalès
    A. Version projective.
    Dans l'animation ci-dessous, en déplaçant A2 ou A3, on s'apperçoit que tant que les droites d1, d2 et d3 restent parallèles, A1A2/A1A3=B1B2/B1B3.


    Théorème : la version forte (ou projective) du théorème de Thalès
    Soient trois droites parallèles d1, d2 et d3.
    Soient deux droites Δ1 et Δ2 qui coupent chacune des droites d1, d2 et d3.
    Remarque : Δ1 et Δ2 ne sont pas forcément sécantes entre elles comme sur le dessin.
    On nomme A1 le point de concours de d1 et Δ1 ;
    on nomme A2 le point de concours de d2 et Δ1 ;
    on nomme A3 le point de concours de d3 et Δ1 ;
    on nomme B1 le point de concours de d1 et Δ2 ;
    on nomme B2 le point de concours de d2 et Δ2 ;
    on nomme B3 le point de concours de d3 et Δ2.
    Remarque : les points de concours nommés sont supposés exister.
    Alors, on a : A1A2/B1B2 = A2A3/B2B3 = A1A3/B1B3.
    Théorème : réciproque de la version forte du théorème de Thalès (version 1)
    Soient deux droites Δ1 et Δ2.
    Soient trois droites d1, d2 et d3, qui coupent chacune des droites Δ1 et Δ2.
    On nomme A1 le point de concours de d1 et Δ1 ;
    on nomme A2 le point de concours de d2 et Δ1 ;
    on nomme A3 le point de concours de d3 et Δ1 ;
    on nomme B1 le point de concours de d1 et Δ2 ;
    on nomme B2 le point de concours de d2 et Δ2 ;
    on nomme B3 le point de concours de d3 et Δ2.
    Remarque : les points de concours nommés sont supposés exister.
    Si A1A2/B1B2 = A2A3/B2B3 (2 rapports égaux) et si A1, A2, A3 sur Δ1 sont lus dans le même ordre que B1, B2, B3 sur Δ2 (1 condition sur l'ordre des points), alors d1//d2//d3.
    Théorème : réciproque de la version forte du théorème de Thalès (version 2)
    Soient deux droites Δ1 et Δ2.
    Soient trois droites d1, d2 et d3, qui coupent chacune des droites Δ1 et Δ2.
    On nomme A1 le point de concours de d1 et Δ1 ;
    on nomme A2 le point de concours de d2 et Δ1 ;
    on nomme A3 le point de concours de d3 et Δ1 ;
    on nomme B1 le point de concours de d1 et Δ2 ;
    on nomme B2 le point de concours de d2 et Δ2 ;
    on nomme B3 le point de concours de d3 et Δ2.
    Remarque : les points de concours nommés sont supposés exister.
    Si A1A2/B1B2 = A2A3/B2B3 = A1A3/B1B3 (3 rapports égaux), alors d1//d2//d3.
    B. Version triangle ou papillon.
    Dans l'animation ci-dessous, en déplaçant A' ou la droite (OB), on s'apperçoit que tant que les droites d, d' restent parallèles, OA'/OA=OB'/OB=A'B'/AB.


    Théorème : le théorème de Thalès dans la configuration du triangle ou du papillon
    Soient deux droites parallèles d et d'.
    Soient deux droites Δ1 et Δ2 qui se coupent en un point Ω .
    On nomme A le point de concours de d et Δ1 ;
    on nomme A' le point de concours de d' et Δ1 ;
    on nomme B le point de concours de d et Δ2 ;
    on nomme B' le point de concours de d' et Δ2.
    Remarque : les points de concours nommés sont supposés exister.
    Alors, on a : Ω A/Ω A' = Ω B/Ω B' = AB/A'B'.
    Théorème : réciproque du théorème de Thalès dans la configuration du triangle ou du papillon (version 1)
    Soient deux droites d et d'.
    Soient deux droites Δ1 et Δ2 qui se coupent en un point Ω .
    On nomme A le point de concours de d et Δ1 ;
    on nomme A' le point de concours de d' et Δ1 ;
    on nomme B le point de concours de d et Δ2 ;
    on nomme B' le point de concours de d' et Δ2.
    Remarque : les points de concours nommés sont supposés exister.
    Si Ω A/Ω A' = Ω B/Ω B' (2 rapports égaux), et si Ω , A, A' sur Δ1 sont lus dans le même ordre que Ω , B, B' sur Δ2 (1 condition sur l'ordre des points), alors d//d'.
    Théorème : réciproque du théorème de Thalès dans la configuration du triangle ou du papillon (version 2)
    Soient deux droites d et d'.
    Soient deux droites Δ1 et Δ2 qui se coupent en un point Ω .
    On nomme A le point de concours de d et Δ1 ;
    on nomme A' le point de concours de d' et Δ1 ;
    on nomme B le point de concours de d et Δ2 ;
    on nomme B' le point de concours de d' et Δ2.
    Remarque : les points de concours nommés sont supposés exister.
    Si Ω A/Ω A' = Ω B/Ω B' = AB/A'B' (3 rapports égaux), alors d//d'.
    Illustration animée du théorème de Thalès.
    Illustration animée de la réciproque du théorème de Thalès.
    Démonstration animée du théorème de Thalès par Euclide. Il s'agit d'une démonstration utilisant les aires ! Il est intéressant d'essayer de la comprendre.
    Comment Thalès mesurait la hauteur de la pyramide de Khéops ...
    Théorème : le théorème de la droite des milieux
    Soit I le milieu du segment [AB] et J le milieu du segment [AC], alors (IJ)//(BC).
    De plus, BC = 2 x IJ.
    Le théorème de la droite des milieux est un cas particulier de la réciproque du théorème de Thalès.
    Théorème : la réciproque du théorème de la droite des milieux
    Si (IJ) passe par le milieu I du segment [AB] et si (IJ)//(BC), où J appartient à la droite (AC), alors J est milieu du segment [AC].
    Mais, il est faux de croire que "si (IJ) passe par le milieu I du segment [AB] et si BC = 2 x IJ, où J appartient à la droite (AC), alors J est milieu du segment [AC]", même si on impose que le point J appartienne au segment [BC].
    La réciproque du théorème de la droite des milieux est un cas particulier du théorème de Thalès.
    Le théorème de Pythagore
    Théorème : le théorème de Pythagore
    Soit ABC un triangle rectangle en A. Alors, AB2 + AC2 = BC2.
    Démonstration sous forme d'exercice corrigé.

    Les carrés de côté a et de côté b ainsi que quatre triangles rectangles dont les côtés de l'angle droit mesurent respectivement a et b sont disposés sur la première figure. Montrer que ce puzzle réalise un carré de côté a + b.

    Un carré de côté c (où c est la mesure du côté de l'hypoténuse du triangle rectangle de côtés mesurant respectivement a et b) ainsi que quatre triangles rectangles dont les côtés de l'angle droit mesurent respectivement a et b sont disposés sur la seconde figure. Montrer que ce puzzle réalise un carré de côté a + b.

    Conclure que a2 + b2 = c2.

    Théorème : la réciproque du théorème de Pythagore
    Soit ABC un triangle tel que AB2 + AC2 = BC2. Alors le triangle ABC est rectangle en A.
    Illustration du théorème de Pythagore.
    Illustration de la réciproque du théorème de Pythagore.
    Quelques puzzles illustrant le théorème de Pythagore ... Chacun des puzzles peut permettre de démontrer le théorème de Pythagore !
    D'anciennes et jolies démonstrations du théorème de Pythagore. Chacun des puzzles peut permettre de démontrer le théorème de Pythagore ! Cependant, les animations, aussi jolies soient-elles ne constituent pas une démonstration.
    Pour se convaincre de l'utilité de démontrer, alors que le dessin semble suffire, le lecteur peut regarder ces quelques illusions géométriques :
    Chercher le morceau caché.
    Le rectangle de Langman.
    Le paradoxe de Curry.
    Jolies variantes carrées du paradoxe de Curry.
    Le triangle de Gardner.
    Autres triangles de Gardner.
    Le bonnet d'âne.
    Applications directes du théorème de Pythagore
    1) La diagonale d'un carré de côté a mesure a x √ 2 ;
    2) La hauteur (médiatrice, médiane ou bissectrice) d'un triangle équilatéral de côté a mesure (a x √ 3)/2.
    Exercice [Nancy, Metz, Reims, Strasbourg, 2001]
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice [Lyon, Grenoble, 1999]
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice [Amiens, 2000]
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice : le parallélogramme de Varignon
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice : la trisection de la diagonale d'un parallélogramme
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice [Orléans, 1999]
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice [Amiens, 1999]
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice [Toulouse, 2000]
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice : puzzle
Sujet (disciplinaire)
Solution
    Exercice [Lille, 1998]
Sujet (disciplinaire)
Solution

Exercices diciplinaires corrigés de cette page.