Denis Vekemans
Maître de conférences au Centre IUFM
de Gravelines
La
géométrie
La géométrie
plane
Les transformations
Les translations
On dit que M' est le transformé de M par la translation de AB (A et B
étant deux points du plan donnés) si le
quadrilatère ABM'M est un parallélogramme.
Remarque : pour être plus précis, il faudrait utiliser la
notion de vecteur dont nous nous passerons dans ce cours.
Dans l'animation suivante, en déplaçant le point N, on voit comment son image
N' est déplacée par conséquent.
- Théorème
: propriété spécifique de la translation relative
aux droites
Une translation transforme une droite en une droite parallèle.
NB : pour d'autres propriétés, voir le
théorème portant sur les isométries plus bas.
Les rotations
On dit que M' est le transformé de M par la rotation de centre O, d'angle
orienté α (la mesure de α est comprise entre -180
et 180 degrés) si = α
et si OM = OM' pour M ≠ O
et M' = O pour M = O.
Remarque : La notion d'angle orienté n'a pas
été vue précédemment, mais on admettra le
fait suivant : = si la rotation est effectuée dans le
sens contraire
des
aiguilles d'une montre ; = -
si la rotation est effectuée
dans le sens des aiguilles d'une montre.
Dans l'animation suivante, en déplaçant le point N, on voit comment son image
N' est déplacée par conséquent.
- Théorème
: propriété spécifique de la rotation relative aux
droites
Une rotation de centre O et d'angle u transforme une
droite (MN) en une droite (M'N') telle que
- si u
= -180° ou si u = 180° (dans ce cas, la rotation
est appelée une symétrie centrale -de centre O-),
alors les droites (MN) et (M'N') sont parallèles
;
- si u ≠ 0°, si u ≠ -180° et si u ≠ 180°, alors les
droites (MN) et (M'N') sont sécantes en un point
nommé S tel que = u ou que = 180 ° - u.
NB : pour d'autres propriétés, voir le
théorème portant sur les isométries plus bas.
Les symétries
orthogonales
On dit que M' est le transformé de M par la symétrie orthogonale d'axe la droite d
si d est la médiatrice du segment [MM'], pour M
n'appartenant pas à d et M' = M pour M
appartenant à d.
Dans l'animation suivante, en déplaçant le point N, on voit comment son image
N' est déplacée par conséquent.
- Théorème
: propriété spécifique de la symétrie
orthogonale relative aux droites
Une symétrie orthogonale d'axe Δ transforme une droite (MN)
en une droite (M'N') telle que - si les droites (MN)
et Δ sont parallèles, alors les droites (MN) et (M'N')
sont parallèles ;
- si les droites (MN) et Δ sont sécantes en P,
alors les droites (MN) et (M'N') sont sécantes en P.
NB : pour d'autres propriétés, voir le
théorème portant sur les isométries plus bas.
Les isométries
Les translations, les rotations et les symétries orthogonales sont des isométries. Ce qui veut dire qu'elles
conservent les distances (i.e. soit M et son transformé M'
par une isométrie ; soit N et son transformé N'
par cette même isométrie ; alors MN = M'N').
- Théorème
Les isométries conservent - les
barycentres et plus
particulièrement les milieux (i.e.
soit M et son transformé M' par une
isométrie ; soit N et son transformé N'
par cette même isométrie, alors le milieu de [M'N']
est le transformé du milieu de [MN]) ;
- l'alignement (i.e. soit M et
son transformé M' par une isométrie ; soit N
et son transformé N' par cette même
isométrie ; soit P et son transformé P'
par cette même isométrie, alors si M, N et
P sont alignés, M', N' et P'
le sont aussi) ;
- le parallélisme (i.e. soit
une droite d et sa transformée d' par une
isométrie ; soit une droite Δ et sa transformée Δ'
par cette même isométrie, alors si d et Δ
sont parallèles, d' et Δ' le sont aussi) ;
- les angles et plus
particulièrement l'orthogonalité
(i.e. soit une droite d et sa transformée d' par
une isométrie ; soit une droite Δ et sa
transformée Δ' par cette même isométrie,
alors si d et Δ sont perpendiculaires, d' et Δ'
le sont aussi).
- Corollaire
Une isométrie transforme
un triangle en un triangle (de mêmes mesures que le triangle
original),
un carré en un carré (de même mesure de côté que
l'original),
un cercle en un cercle (de même rayon que l'original),
un demi-plan en un demi-plan.
Les homothéties
On dit que M' est le transformé de M par
l'homothétie de centre O, de rapport ±k (k
est un réel positif ; ±k est signé
positivement si O n'appartient pas au segment [MM'] et
négativement dans le cas contraire) si M' appartient
à la droite (OM) et si k x OM
= OM' pour M ≠ O
et M' = O pour M = O.
Dans l'animation suivante, en déplaçant le point N, on voit comment son image
N' est déplacée par conséquent.
- Théorème
Les homothéties conservent - les
barycentres (et plus
particulièrement les milieux) ;
- l'alignement ;
- le parallélisme ;
- les angles (et plus
particulièrement l'orthogonalité).
Cependant, les homothéties, si elles possèdent de
nombreuses propriétés en commun avec les
isométries, ne sont pas des isométries pour autant
(c'est-à-dire qu'elles ne conservent pas les distances).
Les triangles et les
transformations
1. Lorsqu'une isométrie transforme A en A', B
en B', et C en C', on dit que les triangles ABC
et A'B'C' sont isométriques.
- Théorème
Lorsque AB = A'B', BC = B'C' et AC = A'C', les
triangles ABC et A'B'C' sont isométriques.
- Théorème
Lorsque AB = A'B', BC = B'C' et =
,
les triangles ABC et A'B'C'
sont isométriques.
- Théorème
Lorsque AB = A'B', BC = B'C' et =
,
les triangles ABC et A'B'C'
sont isométriques.
- Théorème
Lorsque AB = A'B', = et = , les triangles ABC et A'B'C'
sont isométriques.
- Théorème
Lorsque AB = A'B', = et = , les triangles ABC et A'B'C'
sont isométriques.
- Théorème
Lorsqu'une isométrie envoie A sur A', B
sur B', C sur C', on dit que les triangles ABC
et A'B'C' sont isométriques, et les
propriétés suivantes sont évidentes : AB = A'B',
AC = A'C', BC = B'C', = , = et = .
2. Lorsqu'une isométrie composée avec une
homothétie
transforme A en A', B en B', et C
en C', on dit que les triangles ABC et A'B'C'
sont semblables.
- Théorème
- Lorsque , , et les triangles ABC et
A'B'C' sont
semblables et AB/A'B'
= AC/A'C' = BC/B'C'.
- Réciproquement, lorsque AB/A'B'
= AC/A'C' = BC/B'C', les triangles ABC et A'B'C'
sont semblables
et , , et .
Exercice [Dijon,
Nancy-Metz, Strasbourg, 1998]
Exercice [Toulouse, 1998]
Exercice [Aix,
Marseille, 1995]
Exercice [Reims, 1998]
Exercice : triangles
semblables (1)
Exercice : triangles
semblables (2)
Exercice [Dijon, 1999]
Exercice [Guadeloupe,
Guyane, 2001]
Exercice : extrait du
sujet [Amiens, 2001]
Exercice [Amiens, 2002]
Exercice [Nouvelle-Calédonie, 2004]
Exercice 7 des "sujets zéros" pour la session
2006 proposés par l'ARPEME
Exercices diciplinaires corrigés de cette page.