Denis Vekemans
Maître de conférences au Centre IUFM
de Gravelines
Arithmétique dans
l'ensemble des entiers naturels
Les ensembles de nombres
Il faut évidemment probablement parler quelque peu de
différentes structures algébriques. Cependant, seules
quelques propriétés de ces structures sont
présentées dans cette section.
La loi interne
Soit E un ensemble, on dit que la loi ¥ est interne
si, lorsque l'on se donne a et b dans E, alors a
¥ b est également dans E.
La loi associative
Soit E un ensemble, on dit que la loi ¥ est
associative si, lorsque l'on se donne a, b et c
dans E, alors (a ¥ b) ¥ c = a ¥ (b ¥ c).
On note alors cette quantité a ¥ b ¥ c.
L'élément neutre
Soit E un ensemble, on dit que la loi ¥ admet comme
élément neutre e si, lorsque l'on se donne a
dans E, alors a ¥ e = e ¥ a = a.
Note : si e est un élément neutre pour
une loi interne associative, il est l'unique.
L'élément
symétrique
Soit E un ensemble, on dit que a de E admet un
élément symétrique a-1 pour la
loi ¥ si a ¥ a-1 = a-1 ¥
a = e où e est élément neutre pour la
loi ¥.
Note : si a-1 est un élément
symétrique de a pour une loi interne associative, il est
l'unique.
La loi commutative
Soit E un ensemble, on dit que la loi ¥ est
commutative si, lorsque l'on se donne a et b dans E,
alors a ¥ b = b ¥ a.
La distributivité
Soit E un ensemble, on dit que la loi ¤ est
distributive par rapport à la loi ¥ dans E
si, lorsque l'on se donne a, b et c dans E,
alors (a ¥ b) ¤ c = (a ¤ c) ¥ (b ¤ c).
Ensembles de nombres
L'ensemble des entiers naturels N : 0 est un entier
naturel ; et, si n est un entier naturel, alors n + 1
aussi.
+ est-elle interne dans N ?
- est-elle interne dans N ?
On construit un ensemble contenant N pour lequel la loi - soit
interne.
L'ensemble Z des entiers relatifs contient les entiers naturels
ainsi que leurs symétriques pour la loi + ...
- est-elle interne dans Z ?
x est-elle
interne dans N ?
x est-elle
interne dans Z ?
/ est-elle interne dans N
privé de zéro ?
/ est-elle interne dans Z
privé de zéro ?
On construit un ensemble contenant Z pour lequel la loi / soit
interne.
L'ensemble Q des rationnels contient les nombres de la forme a
x b-1 (noté a/b)
où a est un entier relatif et b-1 le
symétrique de l'entier naturel (non nul) b pour la loi x .
+ est-elle interne dans Q ?
- est-elle interne dans Q ?
x est-elle interne
dans Q ?
/ est-elle interne dans Q
privé de zéro ?
Soit p/q un élément de Q, où p
est entier relatif et q est entier naturel non nul. Soit d
= PGCD(p,q) si p est positif
et d = PGCD(-p,q) si p est négatif. Alors la
fraction (p/d)/(q/d) est dite irréductible, avec p/d
entier relatif et q/d entier naturel non nul. La forme
irréductible d'un rationnel est unique.
On a : N _ Z
_ Q.
Cependant, certains nombres n'entrent dans aucune de ces
catégories.
Le nombre d'or : on appelle nombre d'or
le nombre positif x qui satisfait l'équation x2
+ x - 1 = 0. - Démonstration du fait que le nombre
d'or est irrationnel : Par l'absurde, si p/q est un
rationnel positif irréductible, alors p2 + p x q - q2 = 0. Maintenant, par
disjonction de cas, il est impossible que p et q soient
tous deux impairs et que p et q soient de
parités opposées, p et q sont donc tous
deux pairs, mais ceci contredit le fait que la fraction p/q
soit irréductible, d'où l'absurdité.
La racine carrée de deux. - Démonstration
du fait que la racine carrée de deux est irrationnel : Par
l'absurde, si p/q est un rationnel positif irréductible
valant √2, alors p2 = 2 x q2.
De cette écriture multiplicative, il vient que 2 est un
diviseur de p et donc que 4 est un diviseur de p2.
Par suite, 2 est un diviseur de q et p et q
sont donc tous deux pairs, mais ceci contredit le fait que la fraction p/q
soit irréductible, d'où l'absurdité.
π.
Exercice [Créteil,
Paris, Versailles, 2000]
Exercice [Amiens, 2001]
Le développement
décimal
L'ensemble des réels R est l'ensemble des nombres
admettant un développement décimal (il contient, entre
autres, les trois nombres précédents : le nombre d'or, √2,
π). - Il aurait fallu définir l'ensemble des réels
comme
l'ensemble des nombres qui peuvent s'écrire comme limite de
rationnels, et montrer que ces nombres admettent un
développement décimal, mais ce n'est pas l'objectif de ce
cours...
- Mais qu'est-ce qu'un développement décimal ?
Nous utilisons habituellement la base décimale pour
décrire les entiers, comme nous l'avons déjà vu
précédemment. Prolongeons cette définition ...
Soit r un nombre réel, alors on peut écrire r
= ± [ ak x 10k +
... + a1 x 101 + a0 x 100 + a-1
x 10-1 + a-2 x 10-2
+ ... + a-p x 10-p +
... ] , où
les entiers naturels ak, ..., a1,
a0, a-1, ..., a-p,
... sont strictement inférieurs à 10 (ils sont
appelés chiffres) et où ± est le signe de r.
On rappelle : 100 = 1 ; 101 = 10
; 10-p = 1/10p.
Cette écriture peut aussi être abrégée comme
suit : r = ± [ak ... a2 a1 a0,
a-1 a-2 ... a-p...](10).
L'ensemble des nombres décimaux est l'ensemble des nombres
pouvant s'écrire avec un développement décimal
fini (i.e. pouvant s'écrire avec un nombre fini de chiffres)
(les nombres décimaux sont en fait les seuls nombres
réels qui possèdent deux développements
décimaux). - Pour un décimal d, il existe donc
un entier
naturel p tel que d = ± [ak ... a2
a1 a0, a-1 a-2 ... a-p](10)
et d = ± [ak ... a2 a1 a0
a-1 a-2 ... a-p](10)/10p.
- Ceci revient à dire que l'on peut écrire tout
décimal d sous la forme d = n/10p
où n est un entier relatif et p est un entier
naturel.
- Théorème
Un nombre rationnel irréductible p/q où p
est entier relatif et q est entier naturel non nul est
décimal si q = 2µ x
5µ' , où µ et µ'
sont des
entiers naturels.
Réciproquement, si un nombre rationnel irréductible p/q
où p est entier relatif et q est entier naturel
non nul est décimal, alors q = 2µ x 5µ' , où µ
et µ' sont des
entiers naturels.
Cela provient directement du fait que la base est 10 et que les seuls
diviseurs premiers de 10 sont 2 et 5.
- Théorème
Un nombre réel est rationnel si son développement
décimal est périodique à partir d'un certain rang.
Réciproquement, si un nombre réel est rationnel, alors
son développement décimal est périodique à
partir d'un certain rang.
Cela découle de la somme des termes d'une suite
géométrique.
Soit r un rationnel positif dont le développement
décimal est : - r = 10µ x
[ak ... a2 a1 a0, a-1
a-2 ... a-p a-1 a-2 ... a-p...
a-1 a-2 ... a-p ...](10)
où µ est un entier relatif et p est la
longueur de la période.
- Le calcul de 10p x r-r,
donne (10p x r-r)/10µ
= [ak ... a2 a1 a0 a-1
a-2 ... a-p](10)-[ak ... a2
a1 a0](10) qui est entier naturel.
- Ceci permet de trouver r sous sa forme p/q
où p est entier relatif et q est entier naturel
non nul.
Exercice [Créteil,
Paris, Versailles, 2001]
Exercice [Créteil,
Paris, Versailles, 1999]
Exercice 8 des "sujets zéros" pour la session
2006 proposés par l'ARPEME
- Exercice corrigé
Parmi les réels suivants, quels sont ceux qui sont
décimaux ?
10 ?
-21 ?
0,111...1... ?
-0,1543 ?
123,456789 ?
- Exercice corrigé
Parmi les rationnels suivants, quels sont ceux qui sont décimaux
?
12 ?
-34 ?
1/3 ?
-1/5 ?
9/45 ?
31/125 ?
79/43 ?
-372/775 ?
- Exercice corrigé
Parmi les réels suivants, quels sont ceux qui sont rationnels ?
Exprimer les rationnels sous la forme irréductible !
14 ?
-101 ?
0,111...1... ?
153,90 ?
4,44545...45... ?
0,1010010001000010000010000001... ?
p/q où p est entier relatif et q est
entier naturel non nul.
Exercice [Nice, 1998]
Exercices diciplinaires corrigés de cette page.
