Denis Vekemans
    Maître de conférences au Centre IUFM de Gravelines
La proportionnalité et les fonctions

    Les fonctions linéaires et affines
    Définition : Une fonction f d'un ensemble E dans un ensemble F est une relation de E dans F, qui à tout élément de E associe au plus un élément de F.
    On note f : E --> F ; x --> y = f(x). On dit que y est l'image de x par f et que x est l'antécédent de y par f.
    Un tableau du type
Grandeur x x1 x2
Grandeur y y2 = f(x1) y2 = f(x2)
    est appelé un tableau de valeurs de f. La représentation graphique de f (ou graphe de f) est l'ensemble des points du plan de coordonnées (x, f(x)).
    Définition : Lorsque f est donnée par f : R --> R ; x --> y=a x x, où a est un réel donné, on dit que f est une fonction linéaire.
Théorème
    Un tableau de valeurs d'une fonction linéaire est un tableau de proportionnalité.
    La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine.
    Il s'ensuit les propriétés suivantes :
    f(x) = f(1) x x (retour à l'unité) ;
    Soit k un réel, f(k x x) = k x f(x) (propriété multiplicative de la fonction linéaire) ;
    f(x + y) = f(x) + f(y) (propriété additive de la fonction linéaire) ;
    x/f(x) = y/f(y) = constante (rapports égaux) ;
    f(y) = y x (f(x)/x) (règle de trois) ;
    x x f(y) = y x f(x) (produit en croix).
    Définition : Lorsque f est donnée par f : R --> R ; x --> y = a x x + b, où a et b sont des réels donnés, on dit que f est une fonction affine.
Théorème
    La représentation graphique d'une fonction affine est une droite. La fonction affine possède la propriété de proportionnalité des écarts (i.e. f(x) - f(y) = a x (x - y)).

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