Enonçé de la loi faible des grands nombres

Soient $X_1, X_2, \ldots, X_n$, $n$ variables aléatoires réelles discrètes indépendantes de même loi. Si on note $E(X_i)=m$, alors :

$$\lim_{n \to \infty} P(\left\vert \frac{S_n}{n}-m \right\vert > \varepsilon)= 0,$$

pour tout $\varepsilon>0$, avec $S_n=X_1+ X_2+ \ldots+ X_n$. Démonstration On pose $V(X_i)=\sigma^2, \forall i \in \{1,2,\ldots,n\}$. Dans ce cas, $E(\frac{S_n}{n})=m$ et $V(\frac{S_n}{n})=\frac{\sigma^2}{n}$.
Ainsi, d'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, il résulte :

$$P(\left\vert \frac{S_n}{n}-m \right\vert > \varepsilon)\leq \frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}.$$

Puis,

$$\lim_{n \to \infty} P(\left\vert \frac{S_n}{n}-m \right\vert > \varepsilon)= 0,$$

pour tout $\varepsilon>0$, avec $S_n=X_1+ X_2+ \ldots+ X_n$