Exercice [Martinique, 2000]

On considère une famille (F) de quadrilatères définie comme suit : Un quadrilatère ABCD appartient à (F) s'il est convexe et si ses diagonales [AC] et [BD] sont perpendiculaires.

1. Pour chacune des affirmations suivantes dire si elle est vraie ou fausse. Argumenter la réponse.
1.a) Tous les rectangles appartiennent à (F).
1.b) Certains éléments de (F) sont des parallélogrammes.

2. On considère un quadrilatère ABCD de (F). Soient E, F, G et H les milieux respectifs de [AB], [BC], [CD] et [DA].
2.a) Quelle est la nature du quadrilatère EFGH ? Le démontrer.
2.b) Quelle est la condition supplémentaire à imposer à ABCD pour que EFGH soit un carré ? Le justifier.

3. On considère un quadrilatère ABCD de (F) tel que AC = BD = 10 cm, AB = 6 cm et l'angle est droit.
3.a) Construire à la règle et au compas, le quadrilatère ABCD.
3.b) Si O est le point d'intersection des diagonales [AC] et [BD], calculer BC puis BO.
3.c) La figure obtenue est le début d'un patron d'un tétraèdre BADC dont ABC et ACD représentent deux faces perpendiculaires (si ACD est la base, [OB] est la hauteur du tétraèdre).
3.c)i) Montrer que le triangle BOD est rectangle. En utilisant les résultats précédents, déduire une construction, en vraie grandeur, de la longueur de l'arête [BD] du tétraèdre BACD.
3.c)ii) Terminer le patron, avec règle et compas, en laissant apparaître les traces justificatives des constructions.

Solution