Caractéristiques

$E(X)=\frac{1}{p}$ et $V(X)=\frac{q}{p^2}=\frac{1-p}{p^2}$. Démonstration $E(X)=\sum_{k\geq 1} kq^{k-1}p=p\sum_{k\geq 0} kq^{k-1} =\frac{p}{(1-q)^2}=\frac{1}{p}$.
Pour calculer $V(X)$, on calcule tout d'abord $E(X(X-1))$.

$$\begin{eqnarray*} E(X(X-1)) & = & \sum_{k\geq 1} k(k-1)P(X=k)\\ & = & \sum_{k... ...q^{k-1}p\\ & = & 2\frac{pq}{(1-q)^3}\\ & = & 2\frac{q}{p^2} \end{eqnarray*}$$

Or

$$\begin{eqnarray*} V(X)&=&E(X^2)-(E(X))^2\\ &=&E(X(X-1))+E(X)-(E(X))^2\\ &=&2\frac{q}{p^2}+\frac{1}{p}-\frac{1}{p^2} \end{eqnarray*}$$

Donc $V(X)=\frac{q}{p^2}=\frac{1-p}{p^2}$.