Définition

Tirage avec remise La variable aléatoire $X$ binomiale négative peut prendre une infinité de valeurs, $r,r+1,\ldots$, et $P$ (qui dépend des paramètres $p$ -probabilité de succès $(p=1-q)$- et $r$) est donnée par :

$$P(X=k)=C_{k-1}^{r-1}q^{k-r}p^r.$$

On a bien

$$\sum_{k\geq r} P(X=k)=\sum_{k\geq r} C_{k-1}^{r-1}q^{k-r}p^r =1.$$

En effet, si on pose $g(q)=\frac{1}{1-q}=\sum_{l\geq 1 }q^{l-1}$, on obtient par dérivations successives que

$$\begin{eqnarray*} g^{(r-1)}(q)=\frac{(r-1)!}{(1-q)^r}&=&\sum_{l\geq 1 }(l-1)(l-... ...+1)q^{l-r} \\ &=&\sum_{l\geq r }\frac{(l-1)!}{(l-r)!}q^{l-r}, \end{eqnarray*}$$

et donc $\frac{1}{p^r}=\frac{1}{(1-q)^r}=\sum_{l\geq 1 }C_{l-1}^{r-1}q^{l-r}$. $X$ suit une loi binomiale négative de paramètres $p,r$ est noté $X \hookrightarrow BN(p,r)$. En particulier, $X \hookrightarrow BN(p,1) \Longleftrightarrow X \hookrightarrow G(p)$.