Exercice

Problème de l'aiguille de Buffon. [10] Sur une table, on trace des lignes parallèles espacées d'un écart $D$ les unes des autres. On y jette une aiguille de longueur $L$, avec $L\leq D$. Quelle est la probabilité que l'aiguille coupe une ligne (l'alternative étant que l'aiguille soit complètement située dans une des bandes délimitées par les lignes). Correction : On repère la position de l'aiguille grâce à la distance entre le centre de celle-ci et la parallèle la plus proche, et grâce à l'angle $\Theta$ entre l'aiguille et une perpendiculaire aux lignes. L'aiguille coupe une ligne si $\frac{X}{cos \Theta}<\frac{L}{2}$. La variable $X$ varie entre $0$ et $D/2$ et $\Theta$ entre $0$ et $\pi/2$. On admet que les variables $X$ et $\Theta$ sont uniformément réparties et indépendantes. Ainsi,

$$\begin{eqnarray*} P(\frac{X}{cos \Theta}<\frac{L}{2})&=&\int_{0<x<\frac{L}{2} c... ...pi}{2}} \frac{L}{2} cos \theta d\theta\\ &=&\frac{2L}{\pi D}. \end{eqnarray*}$$