Définition

La variable aléatoire $X$ normale est donnée par sa densité $f$ telle que :

$$f(x)= \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}e^{\frac{-(x-m)^2}{2\sigma^2}}$$

où $m\in \hbox{\it I\hskip -2pt R}$ et $\sigma \in \hbox{\it I\hskip -2pt R}^{+} \backslash\{0\}$. On a bien

$$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}e^{\fra... ...ac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2}dt\\ &=&1. \end{eqnarray*}$$

En effet,

$$\begin{eqnarray*} % latex2html id marker 2370 \left( \int_{-\infty}^{\infty} ... ...\\ &=& 2\pi [\frac{-1}{2}e^{-r^2}]_0^{\infty}\\ &=& \pi \\ \end{eqnarray*}$$

De plus, on remarquera que $f$ est symétrique par rapport à $m$ puisque $\forall x \in \hbox{\it I\hskip -2pt R}, f(m+x)=f(m-x)$. $X$ suit une loi normale de paramètres $m, \sigma$ est noté $X \hookrightarrow N(m, \sigma)$.