La loi normale centrée réduite

On appelle loi normale centrée réduite la loi normale de paramètres $m=0$ et $\sigma=1$. Ainsi, la densité de probabilité devient

$$f(x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{\frac{-x^2}{2}}$$

La fonction de répartition $F$ s'écrit

$$F(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{x} e^{\frac{-t^2}{2}}dt.$$

La courbe représentative de $F$ passe par le point de coordonnées (0,$\frac{1}{2}$), possède une asymptote au voisinage de $-\infty$ d'équation $y=0$ (et une asymptote au voisinage de $\infty$ d'équation $y=1$) et est symétrique par rapport au point de coordonnées (0,$\frac{1}{2}$). On remarque que si $X \hookrightarrow N(m, \sigma)$ (loi normale), alors, $\frac{X-m}{\sigma} \hookrightarrow N(0,1)$ (loi normale centrée réduite). Propriétés Ces propriétés servent à utiliser la table de la loi normale centrée réduite ne donnant qu'une partie des valeurs. On note $f(x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{\frac{-x^2}{2}}$.

1. $\int_{-\infty}^{-x} f(t)dt=\int_{x}^{\infty} f(t)dt$
   En effet, $f(t)=f(-t), \forall t \in \hbox{\it I\hskip -2pt R}$.
2. $\int_{-x}^{x} f(t)dt=2 \int_{-\infty}^{x} f(t)dt-1$
   En effet, $\int_{-x}^{x} f(t)dt\\ =\int_{-\infty}^{x} f(t)dt-\int_{-\infty}^{-x} f(t)dt\... ...ty}^{x} f(t)dt-(1-\int_{-\infty}^{x} f(t)dt)\\ =2 \int_{-\infty}^{x} f(t)dt-1$.