Additivité de deux lois normales indépendantes

Si $X_1 \hookrightarrow N(m_1,\sigma_1)$ et si $X_2 \hookrightarrow N(m_2,\sigma_2)$ sont indépendantes, alors $X_1+X_2\hookrightarrow N(m_1+m_2,\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2})$. Démonstration La densité de probabilité de $X_1+X_2$ est

$$\begin{eqnarray*} h(x)&=&\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}e... ...2^2(x-t-m_1)^2+\sigma_1^2(t-m_2)^2}{2\sigma_1^2 \sigma_2^2}} dt \end{eqnarray*}$$

Ensuite, le polynôme $\sigma_2^2(x-t-m_1)^2+\sigma_1^2(t-m_2)^2$ de degré deux en $t$ est mis sous forme canonique :

$$\sigma_2^2(x-t-m_1)^2+\sigma_1^2(t-m_2)^2=(\sigma_1^2+\sigma_... ...rac{\sigma_1^2 \sigma_2^2(x-m_1-m_2)^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}.$$

Ainsi,

$$\begin{eqnarray*} h(x)&=& \frac{1}{\sqrt{2\pi(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}}e^{-\fra... ...sigma_2^2)}}e^{-\frac{(x-m_1-m_2)^2}{2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}} \end{eqnarray*}$$

Et, le résultat demandé est ainsi prouvé.